免费的数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：门电路、真值表与延迟, 布尔代数、卡诺图与多路选择器, 无关项、触发器与计数器。
做得好。想再做下一题吗？准备好做下一题了吗？ 每个主题每天都有 5 道新题。
学习本课之前： 数制
数字电路只处理两个值：0（低电压，假）和 1（高电压，真）。逻辑门有一个或多个输入，给出一个输出。
真值表列出输入各种组合对应的输出：n 个输入有 2ⁿ 行。行 ABC = 101 是第 5 行，称为最小项 m₅。
答案: 1. 1 和 0 的 AND 为 0，NAND 将其取反得 1。NAND 只有在所有输入都为 1 时才为 0。
逻辑表达式遵循与普通代数类似的规则，另外还有几条自己的规则。最常用的有：
合并律 X·Y + X·Y′ = X 是化简的核心：只有一个变量不同的两项可以合并，该变量消去。
积之和（SOP）是若干 AND 项的 OR，例如 F = AB′ + C。和之积（POS）是若干 OR 项的 AND，例如 F = (A + B)(B′ + C)。每个乘积项由文字构成：即变量，带或不带撇号。
卡诺图是把真值表画成网格，相邻的格子恰好只有一个变量不同。因此行和列按 00、01、11、10（格雷码）排列，而不是按二进制顺序。
在上面的图中，四个 1 组成一个圈。圈内 A 变化，C 变化，只有 B = 1 保持不变，所以 F = B。
标有 X 的格子是无关项：即永远不会出现的输入组合。当它能使圈变大时把 X 当作 1，否则忽略它。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
答案: 2. 四个格子即 2²，所以圈内有两个变量变化并消去。四个变量中还剩两个。
跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。
求 F(A, B, C) = Σm(0, 2, 4, 5, 6) 的最简 SOP 形式，并数出其文字个数。
行 A = 0, 1；列 BC = 00, 01, 11, 10。1 填在 m0、m2（第 0 行，第 00 列和第 10 列）以及 m4、m5、m6（第 1 行，第 00、01 和 10 列）。
列 BC = 00 与 BC = 10 跨越边界相邻。它们合在一起包含 m0、m2、m4 和 m6：一个四格圈。只有 C = 0 保持不变，所以这个圈是 C′。
m5（A = 1，BC = 01）仍未被覆盖。把它与相邻的 m4 配成一对：在这一对中 A = 1 和 B = 0 保持不变，所以该项是 AB′。
两项共三个文字。若单独圈 m5，会得到更长的项 AB′C：圈要尽可能大，即使圈之间有重叠。
F = C′ + AB′，共 3 个文字。
门电路会立即响应输入。触发器存储一位，只在时钟的有效边沿（通常是上升沿）改变。
翻转的触发器在每个上升沿都改变，所以其输出频率是时钟频率的一半。把 n 个这样的触发器串联起来，就得到有 2ⁿ 个状态的 n 位二进制计数器。模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0；它需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n，其最后一级输出的频率为 fclk/N。
在异步（行波）计数器中，每一级由前一级提供时钟，因此延迟会累加：时钟周期至少为 n·tpd。移位寄存器型计数器使用的状态较少：n 个触发器的环形计数器有 n 个状态，约翰逊计数器有 2n 个。
答案: 2. 4 位计数器有 16 个状态，并从 15 回绕到 0：13 + 5 = 18，18 mod 16 = 2。写成 18 就忘了回绕。
检查化简后的表达式时，可以代入真值表中的一两行：原式与化简式必须给出相同的输出。
NAND 和 NOR 是通用门：任何逻辑函数都可以只用其中一种构造出来。构造所示的 AND 函数，最少需要多少个 2 输入 NAND 门 N？
求： N
逻辑门：每个输入和输出都是 0 或 1。AND 只有在所有输入都为 1 时输出 1；OR 在至少有一个输入为 1 时输出 1；NOT 取反。NAND 和 NOR 是 AND 和 OR 后接 NOT，XOR 在输入不同时输出 1。分析电路时，从输入到输出，一个门一个门地进行。真值表列出全部 2ⁿ 种输入组合对应的输出；行号就是输入的二进制值，所以行 ABC = 101 是最小项 m₅。
德摩根律：A + B = (A′·B′)′，所以 OR 就是反相输入的 NAND。
在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。
同步模 12 计数器依次计 0, 1, …, 11，然后回到 0。它从 8 开始。经过 36 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？
求： Q
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
每 12 个脉冲使计数器回到相同的状态。
数字电路只处理两个值：0（低电压，假）和 1（高电压，真）。逻辑门有一个或多个输入，给出一个输出。
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