阶跃响应：练习题及分步解答

1什么是阶跃响应

阶跃是在 t = 0 时从 0 跳变到一个常数值并保持不变的输入。想想打开加热器，或踩下油门并保持。

阶跃响应是输出如何跟随输入。它不能立刻跳变：它朝一个新的终值 y(∞) 移动并在那里稳定下来。

曲线 a 平滑上升，从不超调。这是一阶系统，如 RC 电路或加热的水箱。

曲线 b 超调，摆动几次后稳定下来。这是欠阻尼的二阶系统，如汽车悬架或弹簧上的质量块。

终值来自直流增益 G(0)：大小为 U 的阶跃稳定在 y(∞) = G(0)·U。这就是拉普拉斯变换中的终值定理。

2一阶系统

一阶系统具有下面的标准形式。K 是静态增益，τ 是以秒为单位的时间常数。

如果 G(s) 写成 b/(s + a)，把分子和分母同除以 a。则 K = b/a，τ = 1/a。

• 经过 1τ，输出完成了 63% 的变化；3τ 后是 95%；5τ 后超过 99%。
• 达到终值的比例 x 所需的时间：t = −τ·ln(1 − x)。对于 90%，t = τ·ln 10 = 2.3τ。
• 10–90% 的上升时间为 t_r = τ·ln 9 ≈ 2.2τ。
• 对于 RC 电路 τ = R·C。注意 kΩ 乘以 µF 得到毫秒。

如果你测量了响应，可以反推 τ。如果输出在时刻 t 达到比例 x，则 τ = −t/ln(1 − x)。

3二阶系统

二阶系统的分母是二次式。把它与标准形式对比：

• 常数项是 ω_n²，所以固有频率为 ω_n = √(常数项)，单位 rad/s。
• s 的系数是 2ζω_n，所以阻尼比为 ζ = (s 的系数)/(2ω_n)。
• 当 0 < ζ < 1 时，响应会超调并振荡。ζ 越小，超调越大。

对于单位阶跃，终值为 G(0) = K/ω_n²。五个数描述响应的形状：

• ω_d 是阻尼频率：响应振荡的快慢。
• t_p 是峰值时间，即输出最高的时刻。%OS 是高出终值的百分比超调量。
• t_s 是调节时间，在此之后输出保持在终值的 2% 以内。

两个极点为 s = σ ± jω_d，实部 σ = −ζω_n。它们到原点的距离为 ω_n，且 cos θ = ζ。

4分步方法

1. 判断阶数：分母为一次是一阶，二次是二阶。
2. 一阶：把 G(s) 写成 K/(τs + 1)，读出 K 和 τ。
3. 二阶：把分母与 s² + 2ζω_ns + ω_n² 对比。先求 ω_n，再求 ζ。
4. 求终值 y(∞) = G(0)·U。
5. 针对所求的量应用公式：y(t)、某个时间、t_p、%OS、t_s 或 σ。
6. 检查单位：时间用秒，ω 用 rad/s，e^… 和 π 公式中的角度用弧度。

5例题讲解

这是一道典型的中等题。打开每一步之前先自己试一试。

6常见错误

• 把上升看成线性的。指数函数在 2.3τ 后才达到 90%，不是 0.9τ：使用 t = −τ·ln(1 − x)。
• 用 ln(x) 而不是 ln(1 − x)。对数取的是尚未完成的那一部分。
• 从 b/(s + a) 读出 τ = a。时间常数是 1/a。
• 把 ω_n² 当作 ω_n。要对常数项开平方。
• 忘了 2ζω_n 中的 2，或在 t_p = π/ω_d 中用 ω_n 代替 ω_d。
• 题目要求百分数 (16.3%) 时却给出小数形式的超调量 (0.163)。

7考试题是什么样的

• 简单：一阶系统。你求 y(∞)、给定时刻的输出、达到某个百分比的时间、由测得的一点求 τ，或 RC 电路的充电时间。
• 中等：二阶参数。由 G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) 求 ζ、ω_n、%OS、t_p、t_s 或极点的实部 σ。
• 困难：物理系统与设计。质量－弹簧－阻尼器或 RLC 电路，或由测得的超调量和峰值时间反推 ζ 和 ω_n。

对于质量 m、阻尼器 c 和弹簧 k，方程 m·x″ + c·x′ + k·x = F 给出：

要由超调量反推，把 %OS 公式解出 ζ：