控制工程 1：练习题和考试题

拉普拉斯变换：F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt 把导数变成乘以 s：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)，ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。常用变换对：1 ↔ 1/s，e^−at ↔ 1/(s + a)，t·e^−at ↔ 1/(s + a)²，sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)，cos ωt ↔ s/(s² + ω²)；平移 s → s + σ 相当于把时间函数乘以 e^−σt。要对有理函数 F(s) 求逆变换，先分解成部分分式：单极点 p 的留数为 A = [(s − p)·F(s)] 在 s = p 处的值。终值定理：f(∞) = lim_s→0 s·F(s)，仅当 s·F(s) 的所有极点都在左半平面时成立。初值定理：f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)。

方框图代数：串联的方框相乘（G₁·G₂），并联的方框相加（G₁ + G₂），前向通路为 G、反馈通路为 H 的回路，在负反馈时化简为 T = G/(1 + G·H)，在正反馈时为 G/(1 − G·H)。先化简内环，再向外推进。闭环极点是特征方程 1 + G(s)H(s) = 0 的根。对于稳定的回路，大小为 A 的阶跃输入给出稳态输出 A·T(0)；单位反馈时，对阶跃的稳态误差为 A/(1 + K_p)，其中 K_p = G(0)。