劳斯–赫尔维茨稳定判据计算器
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结果
稳定性不稳定
右半平面内的根2
虚轴上的根0
左半平面内的根2
第一列中的符号变化2
| 列 1 | 列 2 | 列 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
由特征多项式检验线性系统的稳定性。计算器用精确分数建立劳斯阵列，处理第一列出现零（ε 法）和整行为零（辅助多项式）的情形，统计符号变化，并给出位于右半平面、虚轴上和左半平面的根的个数。
分步解答
特征多项式
s⁴ + 2s³ + 3s² + 4s + 5 = 0
所有系数都存在且符号相同：这是稳定的必要条件，但不是充分条件。
前两行
s4: 1, 3, 5
s3: 2, 4, 0
后续各行
每个新元素：(b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁，其中 a 是上面第二行，b 是紧邻的上一行。
s2: 1, 5, 0
s1: −6, 0, 0
s0: 5, 0, 0
数第一列中的符号变化次数
第一列: 1, 2, 1, −6, 5
符号: + + + − +
2 次符号变化 → 2 个根位于右半平面
关键公式
- 稳定性
- 特征多项式的所有根都在左半平面
- 劳斯表，三次多项式的 s¹ 行元素
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- 右半平面的根
- 第一列中符号变化的次数
- 三次多项式 s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- 当所有 a > 0 且 a₂·a₁ > a₀ 时稳定
- 特征方程
- 1 + K·G(s) = 0
如何使用劳斯–赫尔维茨判据
- 写出特征多项式，包含 s 的从最高次到最低次的所有幂。如果缺少某个系数或符号不同，则系统不可能稳定。
- 第一行填入第 1、3、5、… 个系数，第二行填入第 2、4、6、… 个系数。
- 之后每个元素为 (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁，使用它上面的两行。
- 如果某个首元素为零但该行不全为零，用一个小的 ε > 0 代替它。如果整行为零，就用由上一行构成的辅助多项式的导数代替该行。
- 第一列中符号变化的次数等于右半平面内根的个数。
问与答
整行为零意味着什么？
多项式有关于原点对称的根：成对的 ±a、±jω，或四个一组的根。上一行构成的辅助多项式恰好包含这些根，其位于虚轴上的根使系统至多是临界稳定。
ε 法总是可靠吗？
当有根位于虚轴上时就不可靠。因此计算器还会分离出 P(s) 和 P(−s) 的公因式（它包含所有对称的根），并精确统计其虚轴上的根。如果这改变了计数，步骤中会说明。
如何求使系统稳定的 K 的范围？
把增益 K 放进系数中，用符号建立阵列，并要求第一列的每个元素都为正。本计算器使用数值，所以你可以用它检验你求出的界限两侧的 K 值。
劳斯阵列稳定就说明设计良好吗？
它只说明所有极点都在左半平面。响应有多快、阻尼有多好取决于极点的位置；这需要用根轨迹或波特图来判断。
自己练一练
练习稳定性：劳斯–赫尔维茨与根轨迹
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。