稳定性：劳斯–赫尔维茨与根轨迹：练习题及分步解答

1稳定性的含义

当每个有界输入都给出有界输出时，系统是稳定的。受到扰动后，稳定的系统会平静下来；不稳定的系统则会发散，或以不断增大的幅度振荡。

这种行为由闭环的极点决定：即其特征多项式的根。s = p 处的极点会给响应增加一项 e^pt。

• 实部为负的极点（左半平面）给出会衰减消失的项。
• 实部为正的极点（右半平面）给出会无限增长的项。
• 所以只有当所有极点都位于左半平面时，系统才是稳定的。

2劳斯表

对于三次或更高阶的多项式，很难手算出根。劳斯–赫尔维茨判据可以在不解根的情况下告诉你有多少个根位于右半平面。

把系数交替写入前两行。对于 s³ + a₂s² + a₁s + a₀：

每个新行由上面两行得出。对于三次多项式，s¹ 行的元素为：

第一列中符号变化的次数等于右半平面内根的个数。

例：s³ + 2s² + 3s + 10。第一列为 1、2、(2·3 − 10)/2 = −2、10。符号依次为 +、+、−、+：变化两次，所以有两个极点位于右半平面。

3分步方法

1. 写出闭环特征方程 1 + K·G(s) = 0，并展开成多项式。
2. 把系数填入劳斯表的前两行。
3. 建立其余各行；如果出现 K，就把它当作符号保留。
4. 数第一列中的符号变化，或者要求第一列的每个元素为正，以求出 K 的允许范围。
5. 在极限增益处，s¹ 行为零。此时 s² 行给出辅助方程 a·s² + b = 0，其根 ±jω 表示振荡频率。

三次多项式 s³ + a₂s² + a₁s + a₀ 的快速检验：当且仅当所有系数为正且 a₂·a₁ > a₀ 时，它是稳定的。

4例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

5根轨迹

根轨迹表示当 K 从 0 增大到 ∞ 时，闭环极点如何移动。它从开环极点（×）出发，终止于开环零点（○）或无穷远。

• 实轴上的某一点属于根轨迹，当且仅当其右侧的实极点和实零点的总数为奇数。
• 趋向无穷远的 n − m 条分支沿渐近线延伸，渐近线的角度为 (2q + 1)·180°/(n − m)。
• 渐近线的起点是重心 σ_a = (Σ极点 − Σ零点)/(n − m)。
• 分支在 dK/ds = 0 处离开或汇入实轴，其中实轴上 K = −1/G(s)。
• 轨迹上任意一点 s 处的增益为 K = 1/|G(s)|，即到各极点的距离之积除以到各零点的距离之积。

对于 L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4))，重心为 (0 − 2 − 4)/3 = −2，渐近线的方向为 60°、180° 和 300°。

0 与 −2 之间的分离点由 dK/ds = 0 得出：3s² + 12s + 8 = 0，所以 s = −0.845。

6常见错误

• 因为所有系数为正就说系统稳定。对于三次或更高阶多项式，还需要劳斯检验。
• 忘了对象的常数项：对于 K/((s + a)(s + b)(s + c))，s⁰ 项系数是 abc + K，而不是 K。
• 当第三个极点或零点牵引着根轨迹时，仍把两个极点的中点当作分离点。
• 在重心公式中丢掉符号：因子 (s + 4) 是 s = −4 处的极点。

7考试题是什么样的

• 简单：劳斯表与极点计数。你要数三次或四次多项式在右半平面内的极点个数、求表中的某个元素、求一阶对象的闭环极点，或把极点置于给定位置所需的增益。
• 中等：K 的范围。你要求最大稳定增益、该增益下的振荡频率、使不稳定对象稳定的最小增益，或增益还能提高多少。
• 困难：根轨迹。你要求渐近线的重心、与虚轴的交点、分离点和汇合点、从复极点出发的出射角，或给定点或阻尼比处的增益。

对于某个阻尼比下的增益，写出特征多项式，并与 s² + 2ζω_ns + ω_n² 比较。