控制工程 2：反馈控制设计：练习题和考试题

阶跃响应：一阶系统 G(s) = K/(τs + 1) 对大小为 U 的阶跃的响应是 y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ)：经过一个时间常数 τ 达到终值 K·U 的 63.2 %，经过 4τ 达到 98 %。二阶系统 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) 的极点为 s = −ζωₙ ± jω_d，其中 ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)。当 0 < ζ < 1 时，阶跃响应有超调：百分比超调量 %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}，峰值时间 t_p = π/ω_d，2 % 调节时间 t_s ≈ 4/(ζωₙ)。把分母与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 比较，即可读出 ωₙ 和 ζ。对于质量–弹簧–阻尼器，ωₙ = √(k/m)，ζ = c/(2√(km))；对于串联 RLC 电路，ωₙ = 1/√(LC)，ζ = (R/2)·√(C/L)。

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ω_c = 1/(RC) 或 R/L，而 f_c = ω_c/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)，φ = −atan(ω/ω_c)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jω_c)。相位穿越频率 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。