伯德图与裕度：练习题及分步解答

免费的伯德图与裕度练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：滤波器与渐近线, 幅值与相位, 稳定裕度。

免费练习题简单
vin​C = 4.7 nFR = 10 kΩvout​

求图中所示RC 高通滤波器的转折（−3 dB）频率 fc，其中 R = 10 kΩ, C = 4.7 nF。 以 Hz 给出。

R = 10 kΩC = 4.7 nF
Hz
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练习内容

  1. 简单滤波器与渐近线
  2. 中等幅值与相位
  3. 困难稳定裕度

从零开始学习伯德图与裕度

学习本课之前： 交流阻抗和相量, 拉普拉斯变换

1波特图显示什么

把正弦波输入滤波器或放大器，输出的是相同频率的正弦波。只有两样东西会变：大小和时间。

tvvin​vout​

增益 |H| 是输出幅值与输入幅值之比。相位 φ 是输出移动的角度，以度为单位。负相位表示输出滞后。

两者都取决于频率。波特图把它们对频率作图：上方是以分贝表示的增益，下方是相位。频率轴是对数轴，所以每个十倍频程（×10）宽度相同。

分贝把比值变成可以相加的数：

|H|dB = 20·log₁₀|H|
  • 增益 1 是 0 dB，10 是 20 dB，100 是 40 dB，0.1 是 −20 dB。
  • 增益 1/√2 ≈ 0.707 是 −3 dB。这是滤波器通带的边缘。
自测 一个放大器的增益为 100。它以分贝表示的增益是多少？
  1. 100 dB
  2. 2 dB
  3. 20 dB
  4. 40 dB

答案: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB。20 dB 用了 10·log₁₀，那是用于功率比的，不用于电压。2 只是 log₁₀(100)。

2一阶滤波器

一个电阻加一个电容或电感就构成最简单的滤波器。低通滤波器让低频通过，削弱高频。高通滤波器则相反。

vin​RCvout​vin​CRvout​

在 RC 低通滤波器（左）中，输出取自电容两端。在 RC 高通滤波器（右）中，输出取自电阻两端。使用电感时，低通滤波器的输出取自 R 两端，高通滤波器的输出取自 L 两端。

变化发生在转折频率附近，此处的增益为 −3 dB。低通和高通两种形式的转折频率相同：

ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)

ωc 的单位是 rad/s，fc 的单位是 Hz。先把 R、C 和 L 换成基本单位：Ω、F 和 H。

0−20−40dB−20 dB/dec−3 dB0°−45°−90°−45°0.010.1110100ω/ωc​

图中显示的是低通滤波器。在 ωc 以下，增益约为 0 dB。在它之上，增益每十倍频程下降 20 dB。相位从 0° 变到 −90°，在转折点处为 −45°。

在任意频率下，设比值 x = f/fc = ω/ωc：

  • 低通：|H| = 1/√(1 + x²)，φ = −atan x。
  • 高通：|H| = x/√(1 + x²)，φ = 90° − atan x。
例题讲解

求 R = 470 Ω、L = 47 mH 的 RL 高通滤波器的转折频率 fc。

1

基本单位

L = 47 mH = 0.047 H
2

以 rad/s 表示的转折频率

ωc = R/L = 470/0.047 = 10 000 rad/s
3

以 Hz 表示的转折频率

fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
答案

fc ≈ 1592 Hz（ωc = 10 000 rad/s）。

自测 一个 RC 低通滤波器的 R = 1 kΩ，C = 1 µF。它的转折频率 fc 是多少？
  1. 1000 Hz
  2. 159 Hz
  3. 159 kHz
  4. 6283 Hz

答案: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0.000001) = 1000 rad/s，所以 fc = 1000/(2π) = 159 Hz。1000 是以 rad/s 计的 ωc，不是 Hz。6283 是乘了 2π，159 kHz 是忘了 kΩ 中的 k。

3直线近似的波特图

对于传递函数 G(s)，可以用直线画出幅值草图。每个因子在自己的转折频率处改变斜率。

  • 分母中的极点因子 (s + p) 从 ω = p 起，使折线向下弯折 20 dB/十倍频程。
  • 分子中的零点因子 (s + z) 从 ω = z 起，使折线向上弯折 20 dB/十倍频程。
  • 分母中的因子 s（积分器）在所有频率上给出 −20 dB/十倍频程，以及 −90° 的相位。
  • 没有积分器时，曲线从直流增益 G(0)（换算成 dB）开始，起初是平的。
200−20−40−60dB0−20−401101001000ω

图中是 G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100))。G(0) = 10 000/1000 = 10，所以曲线从 20 dB 开始。它在 10 rad/s 处弯折为 −20 dB/十倍频程，在 100 rad/s 处弯折为 −40 dB/十倍频程。

要求某个频段内的斜率：每个积分器从 −20 dB/十倍频程开始，然后该频段以下每个极点转折点加 −20，每个零点转折点加 +20。

自测 G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5))。在 5 到 50 rad/s 之间，直线近似曲线的斜率是多少？
  1. 0 dB/十倍频程
  2. −20 dB/十倍频程
  3. −40 dB/十倍频程
  4. −60 dB/十倍频程

答案: −40 dB/十倍频程. 积分器从一开始就给出 −20。5 处的极点再加 −20，所以在 5 到 50 之间斜率为 −40。50 处的零点使 50 以上又回到 −20。−60 是把零点当成了极点。

4某一频率处的精确值

直线只是草图。要得到精确值，代入 s = jω。每个因子 (jω + a) 是一个复数，其中：

|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)

G 的幅值等于分子各幅值之积除以分母各幅值之积。相位等于分子各角度之和减去分母各角度之和。

例：G(s) = 150/((s + 3)(s + 4))，ω = 4 rad/s。|j4 + 3| = 5，|j4 + 4| = 5.657，所以 |G| = 150/28.28 = 5.30，即 14.5 dB。

相位为 −atan(4/3) − atan(4/4) = −53.1° − 45° = −98.1°。

输出取自 R 两端的串联 RLC 电路是带通滤波器。它让谐振频率 ω₀ = 1/√(LC) 附近的频率通过。带宽为 BW = R/L（rad/s），品质因数 Q = ω₀/BW。

  1. 写出 G(s) 或 H(jω)。对于 RC 或 RL 滤波器，先求 ωc 和比值 x = ω/ωc。
  2. 对每个因子，求它的幅值 √(ω² + a²) 和角度 atan(ω/a)。
  3. 幅值相乘再相除。零点角度相加，极点角度相减；积分器贡献 −90°。
  4. 用 20·log₁₀ 把幅值换算成 dB。
  5. 与直线草图对照检查：精确值应该靠近草图，在单个转折点处比草图低 3 dB。

5例题讲解

这是一道典型的中等题。打开每一步之前先自己试一试。

例题讲解

一个 RC 低通滤波器的 R = 10 kΩ，C = 100 nF。输入 480 Hz 的正弦波。求以 dB 表示的增益 |H| 和相移 φ。

1

转折频率

使用基本单位：R = 10 000 Ω，C = 0.0000001 F。

ωc = 1/(10 000·0.0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159.2 Hz
2

频率比

x = f/fc = 480/159.2 = 3.016

输入频率高于转折频率，所以预计增益会明显下降。

3

增益

|H| = 1/√(1 + 3.016²) = 1/3.177 = 0.315
20·log₁₀(0.315) = −10.0 dB
4

相位

低通滤波器使输出滞后，所以相位为负。

φ = −atan(3.016) = −71.7°
5

检验答案

0−20−40dB−20 dB/dec−10.0 dB0.010.1110100ω/ωc​

直线近似给出 −20·log₁₀(3.016) = −9.6 dB，接近精确值 −10.0 dB。

答案

|H| ≈ −10.0 dB，φ ≈ −71.7°。

6常见错误

  • 对电压增益使用 10·log₁₀。信号的增益用 20·log₁₀。
  • 把 ω 和 f 弄混。ωc = 1/(RC) 的单位是 rad/s；除以 2π 才是 Hz。
  • 用 L/R 作为 RL 的转折频率。L/R 是时间常数；转折频率是 ωc = R/L。
  • 像 ω + a 那样把幅值直接相加。jω + a 的模是 √(ω² + a²)。
  • 忘了积分器：1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频程和 −90°。
  • 题目要求精确幅值时却给出直线近似值。
自测 G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) 以 dB 表示的直流增益是多少？
  1. 16.0 dB
  2. 32.0 dB
  3. 40 dB
  4. 52.0 dB

答案: 32.0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40，20·log₁₀(40) = 32.0 dB。16.0 dB 用了 10·log₁₀。40 是比值，不是 dB。52.0 dB 是忘了在分母中令 s = 0。

7考试题是什么样的

  • 简单：滤波器与渐近线。RC 或 RL 滤波器以 Hz 或 rad/s 表示的转折频率、直线近似图在某频段内的斜率，或以 dB 表示的直流增益。
  • 中等：幅值与相位。滤波器在给定频率处以 dB 表示的增益或相位、传递函数精确的 |G(jω)| 或 ∠G(jω)，或 RLC 带通滤波器的 f₀、BW 或 Q。
  • 困难：回路 L(s) 的稳定裕度，例如 85/(s(s + 5)) 或 K/(s(s + a)(s + b))。

对于困难题，你需要两个频率。在增益穿越频率 ωc 处，|L(jω)| = 1（0 dB）。在相位穿越频率 ω180 处，∠L(jω) = −180°。

PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|

对于 L(s) = K/(s(s + a)(s + b))，相位穿越频率为 ω180 = √(a·b)。当两个裕度都为正时，回路是稳定的。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
|H| (dB)0.11101001000−100−80−60−40−200ω (rad/s)

求 G(s) = 12/((s + 1)(s + 40)) 的低频（直流）增益，以分贝表示，|G(0)| 单位为 dB。

G(s) = 12/((s + 1)(s + 40))

求： |G(0)| (dB)

显示提示
  1. 在很低的频率下 s → 0。
  2. G(0) = 0.3.
  3. 20·log₁₀(0.3).
显示答案和分步解答

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

直流增益

G(0) = 0.3

以分贝表示

20·log₁₀(0.3) = −10.46 dB

答案

|G(0)| = −10.46 dB
例题 2中等
vin​R = 1 kΩC = 1 nFvout​

图中所示的RC 低通滤波器有R = 1 kΩ, C = 1 nF。输入为1600 kHz的正弦信号。 求 vout 相对于 vin 的相移 φ，单位为度。

R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz

求： φ (°)

显示提示
  1. 先求转折频率：fc = 159155 Hz。
  2. H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
  3. f/fc = 10.05。
显示答案和分步解答

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

转折频率

ωc = 1/(RC) = 1/(1000·1 × 10⁻⁹) = 1000000 rad/s
fc = 159155 Hz → f/fc = 1.6 × 10⁶/159155 = 10.05

相位

φ = − atan(10.05) = −84.32°

答案

φ = −84.32°
例题 3困难
|H| (dB)0.10.111101010010010001000−60−40−200204060ω (rad/s)φ (°)ω (rad/s)−180−135−90−450ωc​

一个单位反馈回路的开环传递函数为 L(s) = 185/(s(s + 5))。 求相位裕度 PM，单位为度。

L(s) = 185/(s(s + 5))

求： PM (°)

显示提示
  1. |L(jω)| = 185/(ω·√(ω² + 25)) = 1 给出 ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0。
  2. 求解关于 x = ω² 的二次方程：x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2。
  3. ωc = 13.15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
显示答案和分步解答

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

增益穿越

ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172.9
ωc = 13.15 rad/s

相位裕度

∠L(jωc) = −90° − atan(13.15/5) = −159.2°
PM = 180° + ∠L = 20.82°

答案

PM = 20.82°

问与答

什么是伯德图与裕度？

把正弦波输入滤波器或放大器，输出的是相同频率的正弦波。只有两样东西会变：大小和时间。

两者都取决于频率。波特图把它们对频率作图：上方是以分贝表示的增益，下方是相位。频率轴是对数轴，所以每个十倍频程（×10）宽度相同。

伯德图与裕度题目如何一步步求解？

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ωc = 1/(RC) 或 R/L，而 fc = ωc/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²)，φ = −atan(ω/ωc)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ωc：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jωc)。相位穿越频率 ω180：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

伯德图与裕度有哪些常见错误？
  • 这是以比值表示的增益。需要换算：20·log₁₀(0.3)。
  • 对电压或信号比值使用 20·log₁₀，而不是 10·log₁₀（那是用于功率的）。
  • 在每个因子中令 s = 0：G(0) = 0.3，而不是 12。
伯德图与裕度练习包括哪些内容？
  • 简单: 滤波器与渐近线
  • 中等: 幅值与相位
  • 困难: 稳定裕度

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
  • 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
  • 你的进度、错题和收藏的题目都会保留，方便考前复习。

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