拉普拉斯变换：练习题及分步解答

免费的拉普拉斯变换练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：变换对表与值定理, 用部分分式求逆变换, 常微分方程与传递函数。

免费练习题简单
t (s)f(t)f(∞) = ?

信号 f(t) 的拉普拉斯变换为 F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10))。用终值定理求 f(t) 最终趋于的值 f(∞)。

F(s) = 22/(s(s² + 8s + 10))
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练习内容

  1. 简单变换对表与值定理
  2. 中等用部分分式求逆变换
  3. 困难常微分方程与传递函数

从零开始学习拉普拉斯变换

学习本课之前： 微分方程, 积分

1拉普拉斯变换做什么

电路、电机和水箱由微分方程描述：输出取决于它自身的变化率。直接求解这些方程很慢。

拉普拉斯变换把这类问题变成代数问题。你把每个时间函数 f(t) 换成新变量 s 的函数 F(s)。

你在 s 域里用普通代数解题，然后把结果翻译回时间域。最后一步就是逆变换。

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫₀∞ f(t)·e−st dt

你很少自己用这个积分。实际上，你在表中查变换对，就像在两种语言之间查词典。

tf1 ⟷ 1/stfe−at​ ⟷ 1/(s + a)tfsin ωt ⟷ ω/(s² + ω²)

图中显示三种常见信号：常数 1（阶跃）、衰减指数函数和正弦。每个信号下方是它的变换。

自测 常数信号 f(t) = 5 的拉普拉斯变换是什么？
  1. 1/(5s)
  2. 5/s
  3. 5
  4. 5s

答案: 5/s. 常数因子保持在前面，且 ℒ{1} = 1/s。所以 ℒ{5} = 5/s。答成 5 是忘了常数的变换总带有因子 1/s。

2变换对表

记住这五个变换对。再加上两条规则，就涵盖了几乎所有考试题。

1 ↔ 1/s
e−at ↔ 1/(s + a)
t·e−at ↔ 1/(s + a)²
sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)
cos ωt ↔ s/(s² + ω²)
  • 线性：常数留在前面，和逐项变换。所以 3/(s + 2) ↔ 3·e−2t。
  • 平移：把 s 换成 s + a，会使时间函数乘以 e−at。所以 (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e−2t·cos 3t。

注意正弦变换对：分子必须就是 ω 本身。对于 12/(s² + 9)，ω = 3，所以把 12 写成 4·3。结果是 4·sin 3t。

在 sin ωt 和 cos ωt 中，角度 ωt 以弧度为单位。计算前把计算器设为弧度模式。

例题讲解

求 F(s) = 6/(s + 3) + 2/s 的 f(t)，并计算 f(0.5)。

1

把每一项与变换对匹配

6/(s + 3) 的形式是 1/(s + a)，a = 3，再乘以 6。项 2/s 是常数 2。

6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2

写出 f(t)

把两部分相加（线性）：

f(t) = 6·e−3t + 2
3

在 t = 0.5 处计算

f(0.5) = 6·e−1.5 + 2 = 6·0.2231 + 2 = 3.34
答案

f(t) = 6·e−3t + 2，所以 f(0.5) ≈ 3.34。

自测 8/(s² + 16) 的逆变换是什么？
  1. 2·cos 4t
  2. 2·sin 4t
  3. 8·sin 16t
  4. 8·sin 4t

答案: 2·sin 4t. ω² = 16，所以 ω = 4。该变换对要求分子为 4：8 = 2·4，得到 2·sin 4t。8·sin 4t 是忘了除以 ω。余弦对应分子中带 s 的情形。

3不求逆变换而得到初值和终值

有时你只需要 f(t) 从哪里开始或在哪里结束。两个定理可直接由 F(s) 给出这些值。

f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
  • 初值（s → ∞）：对于很大的 s，只有分子和分母中 s 的最高次幂起作用。
  • 终值（s → 0）：约去因子 s，然后在所有其余因子中令 s = 0，包括零点因子。
  • 终值定理只有在 f(t) 真的趋于稳定时才适用：s·F(s) 的所有极点都必须具有负实部。

终值：对于 F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3))，得到 s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3))。令 s = 0，得 12/6 = 2，所以 f(∞) = 2。

初值：对于 F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6)，得到 s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6)。对于大的 s，它的行为类似 3s²/s²，所以 f(0⁺) = 3。

对于初始斜率 f′(0⁺)，使用导数的变换 ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺)。然后对它应用初值定理：

f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]

对同一个 F(s)：s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6)。乘以 s，令 s → ∞。最高次幂给出 −5s²/s²，所以 f′(0⁺) = −5。

自测 F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5))。f(t) 趋于什么值？
  1. 0.5
  2. 0
  3. 1
  4. 20

答案: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5))，在 s = 0 时为 20/20 = 1。去掉零点因子 (s + 2) 会得到 0.5。值 0 是 s → ∞ 的极限，即初值。

4部分分式，一步一步来

大多数 F(s) 并不直接出现在表中。你要把它们拆成表中有的简单分式。这称为部分分式。

分母的每个根是一个极点。s = −a 处的单极点给出一项 A/(s + a)，它在时间域中变成 A·e−at。

F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt

遮盖法可求出每个系数。要求 A，遮住 F(s) 中的因子 (s + a)，把其余部分中的 s 取为 −a。

例：F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4))。则 A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2，B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1。所以 f(t) = 2e−t − e−4t。

ReIm−3−1j2−j2e−3t​e−t​·sin 2t

极点的位置决定了形状。−3 处的实极点给出纯衰减 e−3t。复共轭极点 −1 ± j2 给出衰减振荡，即 e−t 乘以 sin 2t 或 cos 2t。

  • 重极点 (s + a)²：写成 A/(s + a) + B/(s + a)²。第二项给出 B·t·e−at。所以 (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e−t + 3t·e−t。
  • 复极点：配方，s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2²。则 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e−2t·sin 2t。
  1. 分解分母并列出极点。对于二次式，求它的根或配方。
  2. 每个极点写一个分式：A/s、B/(s + a) 等等。重极点还要有平方项。
  3. 用遮盖法求每个系数。保留其余因子的符号。
  4. 用表把每一项翻译回时间域。
  5. 代入时间 t（正弦和余弦用弧度）。用终值和初值定理检查 f(0⁺) 和 f(∞)。
自测 F(s) = (s + 5)/((s + 1)(s + 3)) = A/(s + 1) + B/(s + 3)。A 是多少？
  1. 2
  2. 4
  3. −1
  4. −2

答案: 2. 遮住 (s + 1)，在其余部分令 s = −1：(−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2。所以 −1 对应的值是 B。4 是忘了除以剩下的因子，−2 则是把剩下因子的符号弄反了：4/(−2) 而不是 4/2。

5例题讲解

这是一道典型的中等题。打开每一步之前先自己试一试。

例题讲解

用部分分式求 F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) 的 f(t)，并计算 f(0.5)。

1

列出分式

分母已经分解好了。极点是 s = 0、s = −2 和 s = −3，都是单极点。

F(s) = A/s + B/(s + 2) + C/(s + 3)
2

用遮盖法求 A

遮住因子 s，把其余部分中的 s 取为 0：

A = 12/((0 + 2)(0 + 3)) = 12/6 = 2
3

用遮盖法求 B 和 C

遮住 (s + 2)，取 s = −2。然后遮住 (s + 3)，取 s = −3。保留每个符号。

B = 12/((−2)(−2 + 3)) = 12/(−2) = −6
C = 12/((−3)(−3 + 2)) = 12/3 = 4
4

回到时间域

每一项都是表中的变换对：2/s ↔ 2，B/(s + a) ↔ B·e−at。

f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t
5

在 t = 0.5 处计算

f(0.5) = 2 − 6e−1 + 4e−1.5 = 2 − 2.207 + 0.893 = 0.685
6

检验答案

tf(t)20.50.685123

在 t = 0 时：2 − 6 + 4 = 0。初值定理与此一致，因为对大的 s，s·F(s) → 0。

当 t → ∞ 时只剩下 2。终值定理同样给出 12/(2·3) = 2。

答案

f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t，所以 f(0.5) ≈ 0.685。

6常见错误

  • 把两个定理弄混：s → ∞ 给出起始值 f(0⁺)，s → 0 给出终值 f(∞)。
  • 忘了 s·F(s) 中的因子 s，或在令 s = 0 时丢掉像 (s + 2) 这样的零点因子。
  • 遮盖法中的符号错误：在 s = −3 时，因子 (s + 2) 等于 −1，不是 5。
  • 使用正弦变换对时没有除以 ω：ω/(s² + ω²) 要求分子是 ω。
  • 计算 sin ωt 或 cos ωt 时计算器设成了角度模式。角度 ωt 以弧度为单位。
  • 在 f(t) 不会趋于稳定时使用终值定理，例如 F(s) = 1/(s² + 4)，那是纯正弦。
自测 F(s) = 6/((s + 1)(s + 3))。用遮盖法，e−3t 的系数 B 是多少？
  1. 3
  2. 6
  3. −2
  4. −3

答案: −3. 遮住 (s + 3)，把其余部分中的 s 取为 −3：6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3。正的 3 是符号错误（它是 e−t 的系数 A）。−2 是除以了极点的值，而不是其余因子。

7考试题是什么样的

  • 简单：变换对表与终值定理。你对常数、指数函数、t·e−at、正弦或余弦求逆变换并计算其值，或者求 f(0⁺)、f(∞) 或初始斜率 f′(0⁺)。
  • 中等：用部分分式求逆变换。你求一个系数 A、对三个单极点 s(s + a)(s + b) 求逆变换、处理重极点，或通过配方处理复极点。
  • 困难：微分方程与传递函数，例如给定初值的 y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t)。你求出给定时刻的 y。

对于困难题，把每个导数连同其初始条件一起变换：

ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)

然后对 Y(s) 解代数方程，并像例题那样用部分分式求逆变换。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
t (s)f(t)f(∞) = ?

信号 f(t) 的拉普拉斯变换为 F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))。用终值定理求 f(t) 最终趋于的值 f(∞)。

F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))

求： f(∞)

显示提示
  1. 终值定理：f(∞) = lim s·F(s)，s → 0。
  2. 先检查 s·F(s) 的所有极点是否都在左半平面，这样 f(t) 才真的会趋于稳定。
  3. s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
显示答案和分步解答

拉普拉斯变换：F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt 把导数变成乘以 s：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)，ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。常用变换对：1 ↔ 1/s，e−at ↔ 1/(s + a)，t·e−at ↔ 1/(s + a)²，sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)，cos ωt ↔ s/(s² + ω²)；平移 s → s + σ 相当于把时间函数乘以 e−σt。要对有理函数 F(s) 求逆变换，先分解成部分分式：单极点 p 的留数为 A = [(s − p)·F(s)] 在 s = p 处的值。终值定理：f(∞) = lims→0 s·F(s)，仅当 s·F(s) 的所有极点都在左半平面时成立。初值定理：f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)。

检查定理是否适用

只有当 f(t) 趋于稳定时定理才成立；虚轴上或右半平面内的极点会导致错误的答案。

s·F(s) 的极点：s² + 2s + 23 = 0，全部在左半平面。

终值

f(∞) = lims→0 s·F(s) = lims→0 28/(s² + 2s + 23) = 28/23 = 1.217

答案

f(∞) = 1.217
例题 2中等
ReIm−5−10−15−20−25

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)。它的逆变换形如 f(t) = A·e−6t + B·e−8t。用部分分式法求系数 A。

F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)

求： A

显示提示
  1. 分解分母：s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)。
  2. 遮盖法：A = [(s + 6)·F(s)] 在 s = −6 处的值。
  3. 在 s = −6 处：分子为 16，另一个因子为 2。
显示答案和分步解答

拉普拉斯变换：F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt 把导数变成乘以 s：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)，ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。常用变换对：1 ↔ 1/s，e−at ↔ 1/(s + a)，t·e−at ↔ 1/(s + a)²，sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)，cos ωt ↔ s/(s² + ω²)；平移 s → s + σ 相当于把时间函数乘以 e−σt。要对有理函数 F(s) 求逆变换，先分解成部分分式：单极点 p 的留数为 A = [(s − p)·F(s)] 在 s = p 处的值。终值定理：f(∞) = lims→0 s·F(s)，仅当 s·F(s) 的所有极点都在左半平面时成立。初值定理：f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)。

分解分母

s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)

遮盖法

乘以 (s + 6) 并令 s = −6：B 项消失。

A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8

答案

A = 8
（B = −7，所以 f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t）
例题 3困难
t (s)y(t)t = 0.6y(0.6) = ?

某系统满足 y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t)，y(0) = 5，y′(0) = 0。在 t = 0 时施加阶跃输入 u(t) = 5。用拉普拉斯变换求 y(0.6)。

y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t)y(0) = 5y′(0) = 0u(t) = 5t = 0.6 s

求： y(0.6)

显示提示
  1. 变换：(s² + 7s + 10)·Y − (s + 7)·5 = 30·5/s。
  2. 两边同乘以 s：Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))。
  3. A = 15, B = −16.67, C = 6.667.
显示答案和分步解答

拉普拉斯变换：F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt 把导数变成乘以 s：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)，ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。常用变换对：1 ↔ 1/s，e−at ↔ 1/(s + a)，t·e−at ↔ 1/(s + a)²，sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)，cos ωt ↔ s/(s² + ω²)；平移 s → s + σ 相当于把时间函数乘以 e−σt。要对有理函数 F(s) 求逆变换，先分解成部分分式：单极点 p 的留数为 A = [(s − p)·F(s)] 在 s = p 处的值。终值定理：f(∞) = lims→0 s·F(s)，仅当 s·F(s) 的所有极点都在左半平面时成立。初值定理：f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)。

对方程做变换

(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))

部分分式

A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16.67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6.667

结果

y(t) = 15 − 16.67·e−2t + 6.667·e−5t
y(0.6) = 10.31

答案

y(0.6) = 10.31

检验：y(0) = A + B + C = 5。

问与答

什么是拉普拉斯变换？

电路、电机和水箱由微分方程描述：输出取决于它自身的变化率。直接求解这些方程很慢。

你在 s 域里用普通代数解题，然后把结果翻译回时间域。最后一步就是逆变换。

拉普拉斯变换题目如何一步步求解？

拉普拉斯变换：F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt 把导数变成乘以 s：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)，ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。常用变换对：1 ↔ 1/s，e−at ↔ 1/(s + a)，t·e−at ↔ 1/(s + a)²，sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)，cos ωt ↔ s/(s² + ω²)；平移 s → s + σ 相当于把时间函数乘以 e−σt。要对有理函数 F(s) 求逆变换，先分解成部分分式：单极点 p 的留数为 A = [(s − p)·F(s)] 在 s = p 处的值。终值定理：f(∞) = lims→0 s·F(s)，仅当 s·F(s) 的所有极点都在左半平面时成立。初值定理：f(0⁺) = lims→∞ s·F(s)。

拉普拉斯变换有哪些常见错误？
  • 在 s = 0 时，因子 s² + 2s + 23 等于它的常数项 23。
  • 取极限 s → 0，而不是 s = 1。
  • 这是 B，即 e−8t 的系数。A 对应极点 s = −6。
拉普拉斯变换练习包括哪些内容？
  • 简单: 变换对表与值定理
  • 中等: 用部分分式求逆变换
  • 困难: 常微分方程与传递函数

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
  • 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
  • 你的进度、错题和收藏的题目都会保留，方便考前复习。

本主题的前后主题

先学习

微分方程积分

接下来学习

方框图伯德图与裕度稳定性：劳斯–赫尔维茨与根轨迹阶跃响应

计算器

拉普拉斯逆变换计算器（部分分式）拉普拉斯变换计算器

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