变压器：练习题及分步解答

免费的变压器练习题，附图示、提示和完整详细解答。每次数值都不同，分三个难度：匝数比, 电流与功率, 效率与损耗。

免费练习题简单
N1​ = 5000N2​ = ?11500 V230 V

一台理想变压器须把 11500 V 降到 230 V。其一次绕组有 5000 匝。二次绕组需要多少匝 N2？

V1 = 11500 VV2 = 230 VN1 = 5000
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练习内容

  1. 简单匝数比
  2. 中等电流与功率
  3. 困难效率与损耗

关键公式

匝数比
a = N1/N2 = V1/V2
电流比
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
额定电流
I = S/V
折算阻抗
Z1′ = a²·ZL
部分负载时的铜损
Pcu = x²·Pcu,fl
效率
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
最高效率
x = √(Pcore/Pcu,fl)

从零开始学习变压器

学习本课之前： 交流阻抗和相量

1什么是变压器

变压器把一个交流电压变成更高或更低的交流电压。发电站把电压升高以便远距离送电；本地变压器把它降到 230 V 供家庭使用。

它有两个绕在同一个铁芯上的线圈。接电源的线圈是初级（1）。接负载的线圈是次级（2）。

RL​N1​N2​V1​V2​

初级中的交流电在铁芯中产生变化的磁场。这个变化的磁场在次级的每一匝中感应出电压。

恒定的直流电产生恒定的磁场，而恒定的磁场不感应任何东西。所以变压器只能用于交流电。

自测 当理想变压器的初级接到 12 V 电池（直流）上时，它的次级输出什么？
  1. 0 V，因为恒定的磁场不感应电压
  2. 12 V 的交流电压
  3. 12 V，与初级相同
  4. 由匝数比决定的电压

答案: 0 V，因为恒定的磁场不感应电压. 只有变化的磁场才会感应电压。直流电产生恒定的磁场，所以电流稳定后次级什么也没有。

2匝数比

铁芯上每一匝导线得到相同的电压。所以每个线圈的电压与其匝数 N 成正比。

a = N1 / N2 = V1 / V2

理想变压器没有功率损耗，所以输入功率等于输出功率：V1·I1 = V2·I2。因此电流的关系正好相反：

I1 / I2 = N2 / N1 = 1/a
  • 降压（a > 1）：次级电压较低，电流较大。
  • 升压（a < 1）：次级电压较高，电流较小。
自测 一台理想变压器的初级为 400 匝，次级为 200 匝。初级接 240 V。次级电压是多少？
  1. 120 V
  2. 240 V
  3. 480 V
  4. 60 V

答案: 120 V. V2 = V1·N2/N1 = 240·200/400 = 120 V。把比值颠倒会得到 480 V。

3分步方法

  1. 求匝数比 a = N1/N2，或由额定电压求 a = V1/V2。
  2. 求另一侧的电压：V2 = V1/a。
  3. 如果接了负载，用欧姆定律求它的电流：I2 = V2/RL。
  4. 求另一侧的电流：I1 = I2/a。高压侧的电流小。
  5. 用功率检验：V1·I1 必须等于 V2·I2。

快速的合理性检查：匝数多的一侧电压较高，电流较低。

4例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

例题讲解

一台匝数比 N1:N2 = 10:1 的理想变压器，初级为 2300 V。次级接一个 23 Ω 的电阻。求 V2、I2 和初级电流 I1。

1

观察电路

23 ΩN1​ = 10N2​ = 12300 VV2​ ?I1​I2​

匝数比为 a = 10，所以这是降压变压器。

2

二次电压

V2 = V1 / a = 2300 / 10 = 230 V
3

二次电流

I2 = V2 / RL = 230 / 23 = 10 A
4

一次电流

电流比是电压比的倒数。

I1 = I2 / a = 10 / 10 = 1 A
5

检验答案

输入功率：2300·1 = 2300 W。输出功率：230·10 = 2300 W。二者相等，理想变压器必须如此。

答案

V2 = 230 V，I2 = 10 A，I1 = 1 A。

5额定值、折算负载与损耗

变压器以 kVA 标定额定值，例如“10 kVA，7200/240 V”。每个绕组的额定电流等于额定容量除以该绕组的电压：

I = S / V

从初级看，次级上的负载 RL 看起来大了 a² 倍：

RL′ = a²·RL

在这个例子中，23 Ω 从初级看像 10²·23 = 2300 Ω。于是 I1 = 2300/2300 = 1 A，答案相同。

真实的变压器有两种损耗：

  • 铁损 Pcore：在铁芯中。无论负载多大都相同。
  • 铜损 Pcu：在绕组中。它随负载分数 x 的平方增长（半载时 x = 0.5）：Pcu = x²·Pcu,fl。
η = x·S·pf / (x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)

在铜损等于铁损的负载下，效率最高：

x = √(Pcore / Pcu,fl)
自测 一台 25 kVA 的变压器铁损为 75 W，满载铜损为 300 W。它在什么负载下效率最高？
  1. 12.5 kVA
  2. 25 kVA
  3. 50 kVA
  4. 6.25 kVA

答案: 12.5 kVA. x = √(75/300) = √0.25 = 0.5，所以 0.5·25 = 12.5 kVA。忘了开平方会得到 x = 0.25 和 6.25 kVA。

6常见错误

  • 把比值颠倒。匝数多的一侧电压较高。
  • 对电流使用电压比。电流的关系相反：高压侧的电流小。
  • 用错绕组电压来计算额定电流。在 I = S/V 中，每个绕组使用它自己的电压。
  • 铜损按 x 而不是 x² 缩放。半载时它是满载值的四分之一。
自测 一台 10 kVA、7200/240 V 的变压器在额定负载下运行。低压绕组中流过多大电流？
  1. 0.0417 A
  2. 1.39 A
  3. 30 A
  4. 41.7 A

答案: 41.7 A. I = S/V = 10000/240 = 41.7 A。用 7200 V 得到的是高压侧电流 1.39 A。把 S 留在 kVA 会得到 0.0417 A，30 只是匝数比。

7考试题是什么样的

  • 简单：匝数比。求次级电压，或给定降压比时次级的匝数。
  • 中等：电流与功率。求某个绕组的额定电流、次级接电阻时的初级电流、从初级看到的电阻，或使扬声器与放大器匹配的匝数比。
  • 困难：效率与损耗。求部分负载下的总损耗、效率最高时的负载，或由给定效率求满载铜损。

对于匹配，负载必须看起来像电源电阻：a²·RL = Rsource，所以 a = √(Rsource/RL)。

对于部分负载下的损耗，把固定的铁损与 x²·Pcu,fl 相加。功率因数影响输出功率，不影响损耗。

在应用中一步一步地学在应用中一步一步地学

例题详解

例题 1简单
N1​ = 60N2​ = 3000240 VV2​ = ?

一台理想变压器的一次绕组有 60 匝，二次绕组有 3000 匝。一次侧接 240 V 交流电源。求二次电压 V2。

N1 = 60N2 = 3000V1 = 240 V

求： V2 (V)

显示提示
  1. 两个绕组中每匝电压相同。
  2. V₂/V₁ = N₂/N₁.
  3. N₂/N₁ = 50.
显示答案和分步解答

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

电压比等于匝数比

V2 = V1·N2/N1 = 240·3000/60 = 12000 V

答案

V2 = 12000 V
例题 2中等
4 ΩN1​N2​256 Ω

一台输出电阻为 256 Ω 的放大器通过理想变压器驱动一个 4 Ω 的扬声器。为实现最大功率传输，从放大器看扬声器须相当于 256 Ω。求匝数比 a = N₁/N₂。

Rs = 256 ΩRL = 4 Ω

求： a

显示提示
  1. 从一次侧看，负载相当于 a²·RL。
  2. 令 a²·RL 等于放大器的输出电阻。
  3. a² = 256/4.
显示答案和分步解答

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

匹配折算负载

a²·4 = 256
a = √(256/4) = √64 = 8

答案

a = 8
例题 3困难
pf 0.9525 kVA, 25% 负载

一台单相 25 kVA 变压器的铁损为 75 W，额定负载下铜损为 300 W。 它以 0.95（滞后）的功率因数提供额定 kVA 的 25%。求此负载下的总损耗 Ploss，以 W 计。

S = 25 kVAPcore = 75 WPcu,fl = 300 Wx = 0.25pf = 0.95

求： Ploss (W)

显示提示
  1. 哪种损耗随负载变化，哪种不变？
  2. 铜损 ∝ I²，而电流与负载成正比。
  3. x² = 0.0625.
显示答案和分步解答

变压器损耗：铁损（磁滞和涡流）取决于电压，在任何负载下都相同。绕组中的铜损与电流的平方成正比，因此在额定负载的 x 倍时为 x²·Pcu,fl。效率 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)，其中 Pout = x·S·pf。铜损等于铁损时的负载下效率最高。

此负载下的铜损

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.0625·300 = 18.75 W

总损耗

铁损在任何负载下都相同。

Ploss = 75 + 18.75 = 93.75 W

答案

Ploss = 93.75 W

此负载下的效率为 η = 98.45%。

问与答

什么是变压器？

变压器把一个交流电压变成更高或更低的交流电压。发电站把电压升高以便远距离送电；本地变压器把它降到 230 V 供家庭使用。

它有两个绕在同一个铁芯上的线圈。接电源的线圈是初级（1）。接负载的线圈是次级（2）。

变压器题目如何一步步求解？

理想变压器：电压之比等于匝数之比，电流之比等于匝数的反比：V₁/V₂ = N₁/N₂ = a，I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a，因此输入功率等于输出功率，V₁·I₁ = V₂·I₂。二次侧的负载阻抗 Z 从一次侧看相当于 a²·Z。

变压器有哪些常见错误？
  • 匝数比颠倒了。二次侧匝数较多，所以该变压器是升压的：V2 = V1·N2/N1。
  • 阻抗按匝数比的平方变换，所以要开平方：a = √(Rs/RL)。
  • 比值颠倒了。一次侧面对的是较大的电阻，所以需要更多匝数。
变压器练习包括哪些内容？
  • 简单: 匝数比
  • 中等: 电流与功率
  • 困难: 效率与损耗

每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。

练习方式

  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
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