方框图：练习题及分步解答

1什么是方框图

控制系统是由控制器、电机、传感器等部分组成的链条。方框图把每个部分画成一个方框，把每个信号画成一个箭头。

方框把输入信号乘以它的增益或传递函数 G。如果 3 进入 G = 5 的方框，则输出 15。

求和点（一个圆圈）把信号相加或相减。每个输入箭头旁的符号告诉你是哪一种。圆点是引出点：信号被复制，而不是被分流。

这是控制中最重要的图。输出 C 经 H 测量后，从参考输入 R 中减去。差值 E = R − H·C 是驱动 G 的误差。

这就是负反馈：当输出过高时，误差变小，把输出拉回来。

2化简任何方框图的三条规则

你一步步化简方框图，直到只剩一个方框。它的增益 T = C/R 就是闭环传递函数。

• 串联：一个接一个的方框相乘，G₁·G₂。
• 并联：接到同一个求和点的方框相加，符号由求和点处的符号决定：G₁ + G₂ 或 G₁ − G₂。
• 反馈回路：前向方框 G 带负反馈 H，化为 G/(1 + G·H)。

反馈规则由两个方程得出。在求和点处 E = R − H·C，而方框给出 C = G·E。所以 C = G·R − G·H·C，因此：

对于正反馈，信号在求和点处相加，分母中的符号翻转：T = G/(1 − G·H)。

乘积 G·H 是环路增益。当它很大时，T 接近 1/H：决定增益的是传感器，而不是被控对象。

3带传递函数的回路

实际的方框取决于 s，例如电机 G(s) = b/(s + a)。适用同样的规则。之后要化简分式中的分式。

对于单位反馈（H = 1），把 G/(1 + G) 的分子和分母同乘以 (s + a)：

• 闭环极点是分母的根：p = −(a + b)。它位于开环极点 −a 的更左侧，所以回路更快。
• 时间常数为 τ = 1/(a + b)。
• 直流增益为 T(0) = b/(a + b)。大小为 A 的阶跃最终稳定在 c_ss = A·T(0)。
• 有传感器增益 H 时，分母变为 s + a + b·H。

稳态误差 e_ss 是稳定后 R − C 剩下的部分。对于单位反馈，使用误差常数：

• 对于大小为 A 的阶跃：e_ss = A/(1 + K_p)，其中位置常数 K_p = G(0)。
• 对于斜坡 r(t) = A·t：e_ss = A/K_v，其中速度常数 K_v = lim_s→0 s·G(s)。

对于 G(s) = 8/(s(s + 4))，因子 s 被消去：K_v = 8/4 = 2。于是斜坡 r(t) = 1·t 留下 e_ss = 1/2 = 0.5。

对于二阶回路，如 G(s) = K/(s(s + 6))，闭环为 s² + 6s + K = 0。两个相等的实极点（临界阻尼）需要 6² = 4K，所以 K = 9。

4分步方法

1. 找到最内层的回路。先用 G/(1 + G·H) 化简它，正反馈则用 G/(1 − G·H)。
2. 把串联的方框相乘，并联的方框相加（符号由求和点处的符号决定）。
3. 重复直到只剩一个方框。这个方框就是 T(s) = C/R。
4. 化简分式：把分子和分母同乘以 G(s) 的各个分母。
5. 看清题目要求什么：极点来自分母，稳态用 T(0)，一阶回路用 τ = 1/(极点的绝对值)。

快速检查：在 s = 0 时，可以只用数字化简方框图。这样直接得到 T(0)，并能发现大多数代数错误。

5例题讲解

这是一道典型的、含有小回路的中等题。打开每一步之前先自己试一试。

6常见错误

• 对负反馈用 1 − G·H。负反馈给出 1 + G·H，正反馈给出 1 − G·H。
• 把 H 放在分子里。T = G/(1 + G·H)：H 只出现在环路增益中。
• 先闭合外回路再处理内回路。始终由内向外进行。
• 极点中忘了传感器增益 H：分母是 s + a + b·H，而不是 s + a + b。
• 给出开环极点 −a 或开环增益 G(0)。反馈会改变这两者。
• 对阶跃误差用 A/K_p。正确的公式是 A/(1 + K_p)。

7考试题是什么样的

• 简单：串联、并联和反馈。化简回路中的增益、带符号的并联方框，或正反馈。或者对 b/(s + a) 加单位反馈回路，并给出极点、τ、T(0) 或 c_ss。
• 中等：闭环传递函数与误差。像例题那样的小回路、传感器增益 H、临界阻尼所需的增益 K，或阶跃或斜坡输入下的稳态误差。
• 困难：扰动、稳定性与极点。在被控对象输入端加入的扰动 D，或用劳斯－赫尔维茨判据求稳定所允许的最大增益 K_max。

对于扰动，使用叠加：令 D = 0 由 R 求 C，再令 R = 0 由 D 求 C，然后把两者相加。