拉普拉斯变换计算器
输入你的数值。答案和完整解答会随输入实时更新。
结果
F(s)6/(s + 2)³ + 20/(s² + 16) − 2(s + 1)/((s + 1)² + 9) + e−s·4/s
收敛域Re(s) > 0
求由常见项构成的函数的拉普拉斯变换：t 的幂、指数函数、正弦和余弦（可带相位）、sinh 和 cosh、平移的阶跃函数 u(t − c) 以及冲激 δ(t − c)。计算器用标准变换表和平移定理变换每一项，显示用到了哪些条目，并给出 F(s) 及其收敛域。
分步解答
对每一项做变换
L{3t2·e−2t} → 6/(s + 2)³
L{5sin(4t)} → 20/(s² + 16)
L{−2e−t·cos(3t)} → −2(s + 1)/((s + 1)² + 9)
L{4u(t − 1)} → e−s·4/s
所用的变换表条目
L{tneat} = n!/(s − a)n+1
L{eat sin ωt} = ω/((s − a)² + ω²)
L{eat cos ωt} = (s − a)/((s − a)² + ω²)
L{g(t)·u(t − c)} = e−cs·L{g(t + c)}
把各变换相加（线性性）
F(s) = 6/(s + 2)³ + 20/(s² + 16) − 2(s + 1)/((s + 1)² + 9) + e−s·4/s
如何用变换表求拉普拉斯变换
- 把 f(t) 拆成若干项之和；拉普拉斯变换是线性的。
- 使用基本变换对：L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹，L{sin ωt} = ω/(s² + ω²)，L{cos ωt} = s/(s² + ω²)。
- 乘以 e^(at) 使 s 平移：L{e^(at) f(t)} = F(s − a)。
- 延迟项 g(t)·u(t − c) 的变换为 e^(−cs)·L{g(t + c)}。
- 把各项的变换相加；F(s) 在 Re(s) 大于最大指数 a 时存在。
问与答
如何输入 f(t)？
例如 3t^2 e^(-2t) + 5sin(4t) - 2e^(-t)cos(3t) + 4u(t-1)。幂用 ^，指数函数用 e^(at) 或 exp(at)，阶跃用 u(t-c)，冲激用 δ(t-c) 或 delta(t-c)。可以带相位，如 sin(2t + 1)。
t·u(t − 1) 和 (t − 1)·u(t − 1) 有什么区别？
后者是延迟的斜坡函数，其变换为 e^(−s)/s²。前者 t·u(t − 1) = ((t − 1) + 1)·u(t − 1)，其变换为 e^(−s)(1/s² + 1/s)。计算器通过写成 g(t + c) 来处理这两种情形。
t·sin(ωt) 和 t·cos(ωt) 是怎样变换的？
通过 L{tⁿ e^(jωt)} = n!/(s − jω)ⁿ⁺¹：虚部给出正弦，实部给出余弦，例如 L{t sin ωt} = 2ωs/(s² + ω²)²。
什么是收敛域？
使变换积分收敛的 s 的取值：Re(s) 大于 f(t) 中最大的增长率。对 e^(3t)，就是 Re(s) > 3。
可以输入两个正弦的乘积吗？
不能直接输入。请先用积化和差公式改写，例如 sin(at)·cos(bt) = ½[sin((a + b)t) + sin((a − b)t)]。
自己练一练
练习拉普拉斯变换
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。