信号与系统：练习题和考试题

离散卷积：线性时不变系统的输出为 y[n] = Σ_k x[k]·h[n − k]：把 h 翻转，平移 n，与 x 逐点相乘再相加。若 x 有 L_x 个样本，起始于 n_x，h 有 L_h 个样本，起始于 n_h，则 y 有 L_x + L_h − 1 个样本，起始于 n_x + n_h。y 的所有样本之和等于 (Σx)·(Σh)。FIR 滤波器 y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … 就是与 h[n] = b_n 的卷积。

拉普拉斯变换：F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt 把导数变成乘以 s：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)，ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。常用变换对：1 ↔ 1/s，e^−at ↔ 1/(s + a)，t·e^−at ↔ 1/(s + a)²，sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)，cos ωt ↔ s/(s² + ω²)；平移 s → s + σ 相当于把时间函数乘以 e^−σt。要对有理函数 F(s) 求逆变换，先分解成部分分式：单极点 p 的留数为 A = [(s − p)·F(s)] 在 s = p 处的值。终值定理：f(∞) = lim_s→0 s·F(s)，仅当 s·F(s) 的所有极点都在左半平面时成立。初值定理：f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)。