拉普拉斯逆变换计算器（部分分式）
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结果
求有理函数 F(s) = N(s)/D(s) 的拉普拉斯逆变换。输入分子和分母的系数，s 的最高次幂在前。计算器约去公因式，对假分式做除法，求出极点，计算每个部分分式的系数（对相异极点、重极点和复极点），并把 f(t) 写成指数函数、t 的幂、正弦和余弦之和。
分步解答
把 F(s) 写成多项式之比
极点：分母的根
部分分式
所用的变换对
拉普拉斯逆变换
如何用部分分式求拉普拉斯逆变换
- 确保 F(s) 是真分式：如果分子的次数不低于分母，先做除法。多项式部分给出冲激 δ(t)、δ′(t) 等。
- 对分母因式分解以求出极点：实极点 a 对应因子 (s − a)，复共轭对 a ± bj 对应 (s − a)² + b²。
- 把 F(s) 写成部分分式之和并求出系数。对单极点，A = [(s − a)·F(s)] 在 s = a 处的值（遮盖法）；重极点需要求导。
- 用表逐项变换：1/(s − a) ↔ e^(at)，1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)!，(s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt。
- 把各项相加，得到 t ≥ 0 时的 f(t)。
问与答
如何输入 F(s)？
输入每个多项式的系数，从 s 的最高次幂开始往下，用空格分隔，缺少的幂次填 0。(s + 3)/(s² + 3s + 2) 的分子是 1 3，分母是 1 3 2；1/(s³ + 4s) 的分子是 1，分母是 1 0 4 0。可以使用 1/2 这样的分数和小数。
什么是遮盖法？
对 s = a 处的单极点，把 F(s) 乘以 (s − a)，约分，再代入 s = a。对 F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2))，在 s = −1 处得到 2/1 = 2，在 s = −2 处得到 1/(−1) = −1，所以 f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t)。
复极点是怎样处理的？
一对极点 a ± bj 给出形如 (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²) 的项，其逆变换为 e^(at)·(B cos bt + C sin bt)。计算器由 a + bj 处的复系数 A 求出 B 和 C：B = 2·Re A，C = −2·Im A。
如果分子的次数太高怎么办？
这时 F(s) 是假分式。多项式除法给出 F(s) = Q(s) + R(s)/D(s)。多项式 Q(s) 变换成冲激：常数 c 给出 c·δ(t)，c·s 给出 c·δ′(t)，依此类推。真分式部分 R(s)/D(s) 照常展开成部分分式。
结果有多精确？
公因式和重因式用分数精确求出。然后数值计算根和系数，精度约 14 位，并显示 4 位有效数字，所以无理极点（例如 s² + s + 1 的极点）以小数形式出现。
为什么 f(t) 只在 t ≥ 0 时有效？
单边拉普拉斯变换只使用 f 在 t ≥ 0 时的值。严格地说，结果是 f(t)·u(t)，其中 u 是单位阶跃函数，所以 t < 0 时 f(t) = 0。
自己练一练
练习拉普拉斯变换
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。