数制：练习题及分步解答

1什么是数制

日常生活中你用十进制计数，基数为 10。它有十个数字，0 到 9，每一位的权是它右边那一位的十倍。

在 352 中，3 值 300，5 值 50，2 值 2。从右起各位的权是 1、10、100。

计算机把一切都存储为开或关的开关。所以它用二进制计数，基数为 2，只有数字 0 和 1。

一个二进制数字是一个比特（位）。8 个比特组成一个字节。

规则在每种进制中都一样：每个数字的值等于它本身乘以基数的某次幂。

2二进制和十六进制

在二进制中，从右起各位的权是 1、2、4、8、16，依此类推。每一位的权是它右边那一位的两倍。

对于 8 位的数，各位的权是 128、64、32、16、8、4、2 和 1。

读二进制数时，把所有为 1 的位的权相加。对于 0011 0010，就是 32 + 16 + 2 = 50。

一长串比特很难读。程序员常常改用十六进制（hex）来写，基数为 16。

十六进制需要 16 个数字。它用 0 到 9，然后是字母 A = 10，B = 11，C = 12，D = 13，E = 14，F = 15。

从右起，十六进制各位的权是 1、16、256 和 4096。十六进制数前面常加 0x，例如 0x2F。

一个十六进制数字正好是 4 个比特，所以 0011 0010 就是 0x32：0011 是 3，0010 是 2。

3负数：补码

所有位的权都为正的一个字节，存储 0 到 255。这称为无符号数。

为存储负数，计算机使用补码。唯一的变化是最左边一位的权是 −128，而不是 +128。

所以 1000 0011 是 −128 + 2 + 1 = −125。最左边一位称为符号位：当它为 1 时，这个数是负的。

8 位补码数的范围从 −128（1000 0000）到 +127（0111 1111）。

要写负数 −x，先写出 +x 的二进制，把每一位取反（0 变 1，1 变 0），再加 1。

−5 的例子：5 是 0000 0101。取反得 1111 1010。加 1 得 1111 1011。

同一个位模式按无符号数读，值为 256 − x。对于 −5 就是 251，而 1111 1011 的确是 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 251。

4分步方法

二进制或十六进制转十进制：

1. 在每个数字下面写出位权：二进制用 2 的幂，十六进制用 16 的幂，最右边是 1。
2. 在十六进制中，把每个字母换成它的值：A = 10 直到 F = 15。
3. 把每个数字乘以它的位权，然后全部相加。

补码：

1. 读一个位模式时，把最左边一位的值取为 −128（8 位时），再加上所有为 1 的位的位权。
2. 要写 −x，先把 +x 写成 8 位，把每一位取反，再加 1。
3. 该位模式的无符号值是 256 − x。用它来检查你的各位。

比特、范围和内存：

1. n 位可以给出 2ⁿ 种不同的模式。
2. 作为无符号数，它们存储 0 到 2ⁿ − 1。作为补码，它们存储 −2ⁿ⁻¹ 到 2ⁿ⁻¹ − 1。
3. 要让 k 个项目各有自己的编码，求满足 2^b ≥ k 的最小 b。
4. 对于内存，把项目数乘以每个项目的比特数，再除以 8 得字节，除以 1024 得 KiB。

5例题讲解

跟着每一步走。打开下一步之前，先试着预测它。

6常见错误

• 取反之后忘了加 1。结果会小 1。
• 把补码模式按无符号数读，例如把 1111 1111 读成 255 而不是 −1。
• 把符号位当作其余各位前面的负号。在补码中它的权是 −128。
• 把位权的顺序弄反。权为 1 的位总是在最右边。
• 在十六进制中把 A 当作 11。字母从 A = 10 开始。
• 在内存题中混淆比特和字节。要把比特数除以 8。

7考试题是什么样的

• 简单：二进制和十六进制转十进制。把一个 8 位二进制数或一个 3 位十六进制数转换为十进制。
• 中等：补码。读出有符号 8 位模式的值，或把负数写成位模式并给出它的无符号值。
• 困难：比特、范围和内存。n 位能容纳的最大值或最小（最负）值，k 个编码所需的位数，或一幅图像占用的内存。

困难题的例子：一幅 256 × 256、每像素 24 位的图像占用 256 · 256 · 24 / 8 / 1024 = 192 KiB。