积分计算器（定积分与不定积分）
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结果
∫ab f(x) dx0.52733063
F(x)x3/3 + ln|x| + 3sin(2x)/2 + C
1/x 的原函数是 ln|x|：加上绝对值后，对负的 x 也成立。
求原函数或计算定积分。对于标准项之和，如 x 的幂、1/x、e^(ax + b)、ax + b 的 sin、cos 和 sec²、(ax + b)ⁿ 以及 ln(ax + b)，计算器逐项积分并精确计算 F(b) − F(a)。任何其他连续函数用自适应辛普森法则做数值积分，计算器还会对反常积分发出警告。
分步解答
读取函数和积分限
f(x) = x2 + 3cos(2x) + 1/x
a = 1, b = 2
逐项求原函数
∫ x2 dx = x3/3
∫ 1/x dx = ln|x|
∫ 3cos(2x) dx = 3sin(2x)/2
F(x) = x3/3 + ln|x| + 3sin(2x)/2
计算 F(b) − F(a)
F(2) = 2.2246101
F(1) = 1.6972795
∫ = F(b) − F(a) = 2.2246101 − 1.6972795 = 0.52733063
数值检验
自适应辛普森法则: 0.52733063
关键公式
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
如何计算定积分
- 把被积函数拆成各项之和，分别积分；常数因子保留在前面。
- 对 n ≠ −1，使用幂法则 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ∫ 1/x dx = ln|x|。
- 对于 ax + b 的函数，要除以 a：∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a，∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a。
- 在上限和下限处计算原函数并相减：∫ f(x) dx 从 a 到 b = F(b) − F(a)。常数 C 相互抵消。
- 检查被积函数在 [a, b] 上是否连续。如果它在那里有竖直渐近线，如 1/x 在 x = 0 处，则该积分是反常积分，需要取极限。
问与答
计算器能精确求解哪些积分？
xⁿ（任意有理数 n）、1/x、e^(ax + b)、kˣ、sin(ax + b)、cos(ax + b)、sec²(ax + b)、csc²(ax + b)、ax + b 的 sec·tan 和 csc·cot、(ax + b)ⁿ 以及 ln(ax + b) 的常数倍之和。像 x·eˣ 这样的乘积需要分部积分，改用数值方法计算。
数值积分有多准确？
自适应辛普森法则不断把估计值有变化的那部分区间对分，直到对光滑函数在约十位有效数字上一致。计算器会显示函数求值次数和误差估计。
+ C 是什么？
积分常数。每个函数都有无穷多个相差一个常数的原函数，因为常数的导数为零。在定积分中它会抵消。
为什么会出现反常积分的错误提示？
被积函数在 [a, b] 中的某处没有定义或为无穷大，例如 [−1, 1] 上的 1/x，或跨过 π/2 的 tan(x)。这类积分需要取极限，并且可能发散，所以计算器不给出它们的值。
积分限中可以使用 π 吗？
可以。输入 pi、pi/2 或 2pi，或 e 作为积分限；例如 sin(x) 从 0 到 pi 的积分为 2。
自己练一练
练习积分
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。