统计学（二）：统计推断：练习题和考试题

从正态分布到置信区间和假设检验：入门课程之后的推断统计。

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速成包（PDF）公式表、方法步骤和附完整解答的练习题，可直接打印。

本课程的主题

  1. 正态分布单侧尾部面积 · 两个值之间的面积 · 百分位数计算
  2. 置信区间z 区间 · t 区间 · 样本量计算
  3. 假设检验与置信区间z 统计量 · t 统计量 · 置信区间计算
  4. 线性回归与相关斜率与截距 · 相关系数 · 预测计算
  5. 卡方检验拟合优度 · 独立性检验 · 临界值判定计算

统计学（二）：统计推断 考试技巧

  • 先标准化：几乎每道题都从 z 分数或 t 分数开始。
  • σ 未知且样本较小时，用 t 而不是 z。
  • 95% 置信区间与 5% 显著性水平下的双侧检验，结论总是一致的。

例题详解

正态分布简单
μ = 3236.8P = ?

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。 高于 36.8 min 的比例是多少？求 P(X > x)，以小数表示。

μ = 32σ = 6x = 36.8

求： P(X > x)

显示提示
  1. 换算成 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. z = (36.8 − 32)/6 = 0.8.
  3. 右侧面积为 1 − Φ(z)。
显示答案和分步解答

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z = (36.8 − 32)/6 = 0.8

概率

P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119

答案

P = 0.2119

即 21.19%。

置信区间中等
x̄E₁ = 7.895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 95% 置信区间，其误差范围为 7.8。 如果同一研究改用 100 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？

95%n₁ = 50E₁ = 7.8n₂ = 100

求： E₂

显示提示
  1. E = z·σ/√n，σ 保持不变。
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂)。
  3. z₁ = 1.96, z₂ = 1.96.
显示答案和分步解答

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(50/100) = 0.7071

新的误差范围

E₂ = 7.8·0.7071 = 5.515

答案

E₂ = 5.515

练习方式

  • “练习本课程”会混合出该课程所有主题的题目，就像真正的考试一样。
  • 每道题的数值都不同，让你掌握方法，而不是记住答案。
  • 卡住了？先打开一个小提示，需要时再查看完整解析。
  • 模拟考试限时且没有提示，结束后你会得到分数和完整的回顾。

本课程的计算器

z 分数与正态概率计算器置信区间计算器样本量计算器线性回归计算器卡方拟合优度计算器正态分布计算器t 检验计算器p 值计算器相关系数计算器（皮尔逊和斯皮尔曼）单因素方差分析计算器

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