单因素方差分析计算器
输入你的数值。答案和完整解答会随输入实时更新。
结果
F20.91
p 值0.0001228
临界值3.885
决策拒绝 H₀
η²0.777
| 变异来源 | SS | df | MS | F | p |
|---|---|---|---|---|---|
| 组间 | 156.1 | 2 | 78.07 | 20.91 | 0.0001228 |
| 组内 | 44.8 | 12 | 3.733 | ||
| 合计 | 200.9 | 14 |
用单因素方差分析比较两个或更多组的均值。将每组的数值输入各自的输入框。计算器给出完整的 ANOVA 表（平方和、自由度、均方和 F）、F 分布的精确 p 值、临界值和结论，并给出 η² 作为效应量的度量。
分步解答
假设
H₀: μ1 = μ2 = μ3
H₁：至少有一个平均数不同。
各组平均数
组 1: n = 5, x̄1 = 24
组 2: n = 5, x̄2 = 29
组 3: n = 5, x̄3 = 21.2
总平均数 x̄ = 24.73, N = 15
平方和
SSB = Σ ni(x̄i − x̄)² = 156.1
SSW = ΣΣ(x − x̄i)² = 44.8
SST = SSB + SSW = 200.9
均方与 F
MSB = SSB/(k − 1) = 156.1/2 = 78.07
MSW = SSW/(N − k) = 44.8/12 = 3.733
F = MSB/MSW = 20.91
p 值和结论
p = P(F(2, 12) > 20.91) = 0.0001228
Fcrit = 3.885 (α = 0.05)
p ≤ α → 拒绝 H₀
关键公式
- 组间
- SSB = Σ ni(x̄i − x̄)², dfB = k − 1
- 组内
- SSW = Σ (ni − 1)si², dfW = N − k
- F 统计量
- F = MSB/MSW = (SSB/dfB)/(SSW/dfW)
- 决策
- 若 F > Fcrit(dfB, dfW)，拒绝 H₀
如何做单因素方差分析
- 写出 H₀：所有组的平均数相等，以及 H₁：至少有一个平均数不同。
- 计算每组的平均数和所有值的总平均数。
- 组间：SSB = Σ nᵢ(x̄ᵢ − x̄)²，自由度为 k − 1。组内：SSW = ΣΣ(x − x̄ᵢ)²，自由度为 N − k。
- 均方：MSB = SSB/(k − 1)，MSW = SSW/(N − k)。然后 F = MSB/MSW。
- 求 p 值 P(F > F_观测)，若 p ≤ α 则拒绝 H₀。
问与答
显著的方差分析结果告诉我什么？
只说明并非所有组的平均数都相等。要找出哪些组不同，需要用事后检验（如 Tukey HSD）或带 Bonferroni 校正的两两 t 检验继续分析。
有哪些假定？
观测相互独立，每组内的数据大致服从正态分布，各组方差相近。各组样本量相等时，方差分析相当稳健；方差差别很大时，请使用 Welch 方差分析。
两组的方差分析与 t 检验是一回事吗？
是。对于两组，F 等于合并双样本 t 检验的 t²，p 值也完全相同。
η² 是什么？
η²（eta 平方），即 SSB/SST，是由分组解释的总变异的比例。粗略的参考标准：0.01 为小，0.06 为中，0.14 为大。
自己练一练
练习假设检验与置信区间
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。