相关系数计算器（皮尔逊和斯皮尔曼）
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结果
皮尔逊相关系数 r0.9733
r²0.9473
斯皮尔曼等级相关系数 ρ0.9762
皮尔逊 r 的 t 统计量10.39
皮尔逊 r 的 p 值（H₀：无线性相关）4.657 × 10⁻⁵
斯皮尔曼 ρ 的 p 值（t 近似）3.314 × 10⁻⁵
| x | y | x 的秩 | y 的秩 | d² |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 52 | 1 | 1 | 0 |
| 4 | 58 | 2 | 2 | 0 |
| 5 | 61 | 3 | 4 | 1 |
| 7 | 60 | 4 | 3 | 1 |
| 8 | 72 | 5 | 5 | 0 |
| 10 | 75 | 6 | 6 | 0 |
| 11 | 80 | 7 | 7 | 0 |
| 13 | 86 | 8 | 8 | 0 |
衡量两个变量一起变化的强度。输入配对的 x 和 y 值，即可得到皮尔逊相关系数 r、决定系数 r² 和斯皮尔曼等级相关 ρ，并列的值取其平均秩。计算器还会用 t 统计量和双尾 p 值检验皮尔逊 r 是否存在线性相关，并给出斯皮尔曼 ρ 的近似 p 值。
分步解答
均值
x̄ = 7.5, ȳ = 68, n = 8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 98
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1002
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 305
皮尔逊相关
r = Sxy/√(Sxx·Syy) = 305/√(98·1002) = 0.9733
r² = 0.9473
斯皮尔曼等级相关
把每个列表从最小（1）到最大排秩，并对秩差 d 求平方。
Σd² = 2
ρ = 1 − 6Σd²/(n(n² − 1)) = 1 − 6·2/(8·63) = 0.9762
皮尔逊 r 的显著性检验（H₀：无线性相关）
t = r·√(n − 2)/√(1 − r²) = 0.9733·√6/√(1 − 0.9473) = 10.39
df = n − 2 = 6
p = 2·P(T > |t|) = 4.657 × 10⁻⁵
斯皮尔曼 ρ 的显著性
t = ρ·√(n − 2)/√(1 − ρ²) = 11.02, p ≈ 3.314 × 10⁻⁵
这种 t 近似在约 10 对或更多数据时较为合理；样本较小时，请使用 ρ 的精确临界值表。
关键公式
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
如何计算相关系数
- 计算均值 x̄ 和 ȳ。
- 计算各个和 Sxx = Σ(x − x̄)²、Syy = Σ(y − ȳ)² 和 Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)。
- 皮尔逊：r = Sxy/√(Sxx·Syy)。它总是介于 −1 和 1 之间。
- 斯皮尔曼：把每个变量从小到大排秩，并列的值取其秩的平均值，然后计算秩的皮尔逊 r。没有并列时，它等于 1 − 6Σd²/(n(n² − 1))。
- 用 t = r√(n − 2)/√(1 − r²) 和 n − 2 个自由度检验皮尔逊 r 是否存在线性相关（H₀：无线性相关）。
问与答
什么时候该用斯皮尔曼而不是皮尔逊？
皮尔逊衡量直线关系，对异常值敏感。斯皮尔曼只用值的顺序，因此能衡量任何持续上升（或下降）的关系，对异常值和偏态数据也很稳健。对于排序数据或有序数据，请使用斯皮尔曼。
r² 是什么意思？
r² 是 y 的变异中能被 x 的直线解释的比例。r = 0.9733 时，r² = 0.9473，所以这条直线解释了约 95% 的变异。
强相关能证明 x 导致了 y 吗？
不能。两个变量可能都依赖于第三个变量，或者因果方向可能相反。相关只是描述数值如何一起变动。
什么算强相关？
粗略的参考标准是：|r| 小于 0.3 为弱，0.3 到 0.7 为中等，大于 0.7 为强，但这取决于领域：在物理实验中 0.9 可能很差，在社会科学中 0.5 可能就很大。同时一定要看散点图。
为什么 p 值取决于 n？
点数很少时，高的 r 很容易偶然出现；点数很多时，即使 r 很小，在 H₀ 下也不太可能出现。t 统计量 r√(n − 2)/√(1 − r²) 随点数增加而增大。
自己练一练
练习线性回归与相关
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。