期望值和方差计算器
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结果
E[X] = μ1.7
方差0.81
标准差0.9
E[X²]3.7
| x | P(x) | x·P(x) | x²·P(x) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.1 | 0 | 0 |
| 1 | 0.3 | 0.3 | 0.3 |
| 2 | 0.4 | 0.8 | 1.6 |
| 3 | 0.2 | 0.6 | 1.8 |
求离散随机变量的期望值、方差和标准差。输入可能的取值及其概率；可以使用 1/6 这样的分数。计算器检查概率之和是否为 1，并显示计算中用到的 x·P(x) 和 x²·P(x) 表。
分步解答
请检查各概率
Σp = 0.1 + 0.3 + 0.4 + 0.2 = 1 ✓
期望值
E[X] = Σ x·P(x) = 0·0.1 + 1·0.3 + 2·0.4 + 3·0.2 = 1.7
方差和标准差
E[X²] = Σ x²·P(x) = 3.7
Var(X) = E[X²] − (E[X])² = 3.7 − 1.7² = 0.81
σ = √0.81 = 0.9
关键公式
- 期望值
- E[X] = Σ xi·pi
- 方差
- Var(X) = Σ pi(xi − E[X])² = E[X²] − E[X]²
- 概率
- Σ pi = 1
如何计算期望值
- 列出每个可能的取值 x 及其概率 P(x)。概率之和必须为 1。
- 期望值：E[X] = Σ x·P(x)。
- 二阶矩：E[X²] = Σ x²·P(x)。
- 方差：Var(X) = E[X²] − (E[X])²，标准差是它的平方根。
问与答
期望值是什么意思？
它是把试验重复很多次后的长期平均值。它不一定是可能取值之一：一枚公平骰子的期望值是 3.5。
期望值如何用于游戏和决策？
把净收益作为 x。如果一次赌注的期望净收益为负，那么长期来看平均是亏钱的，尽管单局可能会赢。
为什么会提示概率之和不为 1 的错误？
每个结果必须恰好列出一次。0.33、0.33 和 0.33 这样四舍五入的小数加起来是 0.99；请改为输入 1/3。
E[aX + b] 和 Var(aX + b) 如何变化？
E[aX + b] = a·E[X] + b，Var(aX + b) = a²·Var(X)。加上一个常数会平移平均数，但不改变离散程度。
自己练一练
练习概率
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。