一元二次方程求解器 (ax² + bx + c = 0)
输入你的数值。答案和完整解答会随输入实时更新。
结果
根x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁2.5
x₂−1
判别式 Δ49
根的性质两个不同的实根
顶点(0.75, −6.125)
对称轴x = 0.75
y 轴截距−5
抛物线开口向上（顶点处取最小值）
因式分解形式(2x − 5)(x + 1)
求解任何一元二次方程 ax² + bx + c = 0。计算器会算出判别式，使用求根公式，并以小数和精确形式（分数或化简的平方根，如 2 ± √3，包括复根）给出根。它还会求出顶点、对称轴和因式分解形式，并用韦达定理检验这些根。
分步解答
确定 a、b 和 c
2x² − 3x − 5 = 0: a = 2, b = −3, c = −5
判别式
Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4·2·(−5) = 49
Δ > 0 → 两个不同的实根
求根公式
x = (−b ± √Δ)/(2a) = (3 ± √49)/4
精确: x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁ = 2.5, x₂ = −1
顶点与对称轴
h = −b/(2a) = 3/4 ≈ 0.75
k = c − b²/(4a) = −49/8 ≈ −6.125
顶点式: y = 2(x − 0.75)2 − 6.125
因式分解形式
2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)
用韦达定理检验
x₁ + x₂ = −b/a = 1.5
x₁·x₂ = c/a = −2.5
关键公式
- p² < 4q 的二次方程
- z = −p/2 ± j√(q − p²/4)
如何解一元二次方程
- 把方程写成标准形式 ax² + bx + c = 0，并读出 a、b 和 c，注意它们的符号。
- 计算判别式 Δ = b² − 4ac。若 Δ > 0，有两个实根；若 Δ = 0，有一个重根；若 Δ < 0，有两个共轭复根。
- 使用求根公式 x = (−b ± √Δ)/(2a)。通过提出平方因子来化简平方根：√12 = 2√3。
- 当 Δ < 0 时，写成 √Δ = i·√|Δ|，所以根为 −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a)。
- 抛物线 y = ax² + bx + c 的顶点位于 x = −b/(2a)；代入求出 y 坐标。
- 检验：两根之和为 −b/a，两根之积为 c/a。
问与答
什么时候可以因式分解而不用公式？
当判别式是完全平方数且系数为整数时，根是有理数，二次式可以在整数范围内因式分解，如 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)。否则求根公式是可靠的方法。
判别式为负是什么意思？
抛物线不与 x 轴相交，所以没有实根。两个根是共轭复数 p ± qi，在阻尼振动和电路分析等问题中很重要。
什么是顶点式？
y = a(x − h)² + k，其中 (h, k) 是顶点。它直接显示抛物线的最小值 (a > 0) 或最大值 (a < 0)，通过配方得到。
如果 a = 0 呢？
那么方程是线性的，bx + c = 0，唯一解为 x = −c/b。求根公式会出现除以零，所以计算器要求 a 不为零。
为什么计算器给出精确的根？
考试常常要求给出 (3 ± √17)/4 这样的答案，而不是小数。当 a、b、c 是整数或小数时，计算器用精确分数进行运算并化简平方根。
自己练一练
练习复数
计算器只给出答案。考试中你需要的是方法：用新题、提示和详细解答来练习它。