AP Calculus 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−6x³ − 5x − 9)/(5x³ + 3x + 7)。

f(x) = (−6x³ − 5x − 9)/(5x³ + 3x + 7)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 4x)/(x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(2x)，x 以弧度计。求 f′(1.5)。

f(x) = x·sin(2x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 4.5x² + 6x − 3。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 4.5x² + 6x − 3

x =

5.最优化中等

一个正方形底的无盖盒子须容纳 32000 cm³。要求用料尽可能少，即底面加四个侧面的面积最小。求高度 h。

V = 32000 cm³

h = cm

6.最优化困难

一家剧院每场以每张 €10 售出 960 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 40 张（每降低 €1，就多 40 张）。求使收入最大的票价 p。

960 × €1040 / €1

p = €

7.积分中等

计算 I = ∫₀¹ e^−x dx。

f(x) = e^−x[0, 1]

I =

8.积分困难

将直线 y = 2x 与抛物线 y = 2x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = 2xy = 2x²

V =

9.微分方程中等

解 y″ + 6y′ + 5y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 2。求 y(1.5)。

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 2y′(0) = 2

y(1.5) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 10y = 50，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 2y′ + 10y = 50y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.数列与级数中等

求幂级数 Σ_k=1^∞ k!·(x + 1)ᵏ/kᵏ 的收敛半径 R。

Σ k!·(x + 1)ᵏ/kᵏx₀ = −1

R =

12.数列与级数困难

求 f(x) = ∛x 在 a = 1 处的泰勒级数中 (x − 1)² 的系数 c₂。

f(x) = ∛xa = 1k = 2

c₂ =

3溶液

1.极限

答案: L = −1.2

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−6 + (−5)/x² + (−9)/x³)/(5 + 3/x² + 7/x³)

令 x → ∞

L = −6/5 = −1.2

答案

L = −1.2

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 8

第一次应用

4·sin 4x/(2x) → 0/0

第二次应用

16·cos 4x/2

代入 x = 0

L = 16/2 = 8

答案

L = 8

3.导数

答案: f′(1.5) = −2.829

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

代入

f′(1.5) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

答案

f′(1.5) = −2.829

4.导数

答案: x = 1

导数

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

解 f′(x) = 0

x = 1 或 x = 2

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 9：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 1

答案

x = 1

5.最优化

答案: h = 20 cm

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

面积关于 x 的函数

S(x) = x² + 128000/x

令导数为零

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0，所以这是最小值。

x³ = 64000 → x = 40 cm

高度和面积

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

答案

h = 20 cm

最优的无盖盒子高度是底边长的一半。

6.最优化

答案: p = 17 €

收入关于价格的函数

n(p) = 1360 − 40p

R(p) = 1360p − 40p²

令导数为零

R″(p) = −80 < 0，所以这是最大值。

p = 1360/80 = €17

最大收入

n = 1360 − 40·17 = 680

R = 17·680 = €11560

答案

p = €17

7.积分

答案: I = 0.6321

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^−x/(−1)

代入上下限

I = (e⁻¹ − 1)/(−1) = (0.3679 − 1)/(−1) = 0.6321

答案

I = 0.6321

8.积分

答案: V = 1.676

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

2x = 2x² → x = 0, x = 1

垫圈法

V = π∫₀¹ ((2x)² − (2x²)²) dx

积分

V = π(4·1³/3 − 4·1⁵/5) = π·0.5333 = 1.676

答案

V = 1.676

9.微分方程

答案: y(1.5) = 0.6688

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

由初值求常数

A + B = 2, −1A − 5B = 2

A = 3, B = −1

求值

y(1.5) = 3·e^−1.5 + (−1)·e^−7.5 = 0.6688

答案

y(1.5) = 0.6688

10.微分方程

答案: y_max = 6.755

稳态值与根

y_ss = 5, r = −1 ± 3j

由初值求常数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1A + 3B = 0 → B = −1.667

峰值

t = π/3 = 1.047

y_max = 5·(1 + e^−1·π/3) = 6.755

答案

y_max = 6.755

11.数列与级数

答案: R = 2.718

系数

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

半径

R = 2.718

答案

R = 2.718

比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。

12.数列与级数

答案: c₂ = −0.1111

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数 f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0.2222·x^{1/3 − 2}

系数

c₂ = −0.2222·1^{1/3 − 2}/2! = −0.1111

c₂ = −0.1111

答案

c₂ = −0.1111

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