AP Calculus 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−3x³ + 2x − 8)/(5x³ + 2x + 5)。

f(x) = (−3x³ + 2x − 8)/(5x³ + 2x + 5)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(3x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 3x)/(3x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (4x + 5)³。求 f′(2)。

f(x) = (4x + 5)³x = 2

f′(2) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 10.5x² + 36x − 5。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 10.5x² + 36x − 5

x =

5.最优化中等

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 1000 cm³。所用金属与总表面积成正比。求可能的最小表面积 A。

V = 1000 cm³

A = cm²

6.最优化困难

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 190 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 200 + 125q 欧元。求使利润最大的每周产量 q。

p = 190 − 2qC = 200 + 125q

q = 件

7.积分中等

计算 I = ∫₀² e^2x dx。

f(x) = e^2x[0, 2]

I =

8.积分困难

将直线 y = 4x 与抛物线 y = 3x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = 4xy = 3x²

V =

9.微分方程中等

解 y″ + 6y′ + 9y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 4。求 y(1.5)。

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = 4

y(1.5) =

10.微分方程困难

求解 y′ + 0.5y = 3e^−2t，y(0) = 2。求 y(1)。

y′ + 0.5y = 3e^−2ty(0) = 2

y(1) =

11.数列与级数中等

四个级数中恰有一个发散。点选它。

A: Σ 1/(2ᵏ + k)B: Σ k/(k + 4)C: Σ (3/4)ᵏD: Σ 2/k²

1A: Σ 1/(2ᵏ + k)
2B: Σ k/(k + 4)
3C: Σ (3/4)ᵏ
4D: Σ 2/k²

12.数列与级数困难

f(x) = sin x 在 x = 1.5 处用其 n 次麦克劳林多项式近似。利用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1），求能保证误差小于 1 × 10⁻⁵ 的最小次数 n。

f(x) = sin xx = 1.5M = 1ε = 1 × 10⁻⁵

n =

3溶液

1.极限

答案: L = −0.6

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−3 + 2/x² + (−8)/x³)/(5 + 2/x² + 5/x³)

令 x → ∞

L = −3/5 = −0.6

答案

L = −0.6

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 1.5

第一次应用

3·sin 3x/(6x) → 0/0

第二次应用

9·cos 3x/6

代入 x = 0

L = 9/6 = 1.5

答案

L = 1.5

3.导数

答案: f′(2) = 2028

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 3·(4x + 5)²·4

代入

f′(2) = 3·13²·4 = 2028

答案

f′(2) = 2028

4.导数

答案: x = 3

导数

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

解 f′(x) = 0

x = 3 或 x = 4

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 21：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 3

答案

x = 3

5.最优化

答案: A = 553.6 cm²

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

面积关于 r 的函数

h = 1000/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2000/r

令导数为零

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0，所以这是最小值。

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5.419 cm

高度和面积

h = 1000/(π·5.419²) = 2r = 10.84 cm

A = 2π·5.419² + 2000/5.419 = 553.6 cm²

答案

A = 553.6 cm²

最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。

6.最优化

答案: q = 16.25 件

利润函数

P(q) = (190 − 2q)·q − (200 + 125q) = −2q² + 65q − 200

令导数为零

P″(q) = −4 < 0，所以这是最大值。

q = 65/4 = 16.25

价格和利润

p = 190 − 2·16.25 = €157.5

P = 65·16.25 − 2·16.25² − 200 = €328.1

答案

q = 16.25

7.积分

答案: I = 26.8

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^2x/2

代入上下限

I = (e⁴ − 1)/2 = (54.6 − 1)/2 = 26.8

答案

I = 26.8

8.积分

答案: V = 15.89

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

4x = 3x² → x = 0, x = 1.333

垫圈法

V = π∫₀^1.333 ((4x)² − (3x²)²) dx

积分

V = π(16·1.333³/3 − 9·1.333⁵/5) = π·5.057 = 15.89

答案

V = 15.89

9.微分方程

答案: y(1.5) = 0.1889

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 3)² = 0 → r = −3

常数

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = 4 + 6 = 10

求值

y(1.5) = (2 + 10·1.5)·e^−4.5 = 0.1889

答案

y(1.5) = 0.1889

10.微分方程

答案: y(1) = 2.155

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = e^0.5t

(e^0.5ty)′ = 3e^−1.5t

通解

y = 3/(−1.5)·e^−2t + C·e^−0.5t = −2·e^−2t + C·e^−0.5t

初始条件

2 = −2 + C → C = 4

求值

y(1) = −2·0.1353 + 4·0.6065 = 2.155

答案

y(1) = 2.155

11.数列与级数

答案: B: Σ k/(k + 4)

检验每个级数

A: Σ 1/(2ᵏ + k) → 小于 (1/2)ᵏ（收敛的等比级数）：由比较判别法收敛。

B: Σ k/(k + 4) → 各项趋于 1，而不是 0：由通项判别法，发散。

C: Σ (3/4)ᵏ → 等比级数，r = 3/4，|r| < 1：收敛。

D: Σ 2/k² → p-级数，p = 2 > 1：收敛。

答案

B: Σ k/(k + 4)

答案

B: Σ k/(k + 4)

12.数列与级数

答案: n = 10

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

n 增大时的误差界

n = 9: 1.589 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 10: 2.167 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

最小次数

n = 10

答案

n = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-calculus-practice