极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
AP Calculus 练习题：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
微分方程
- 指数增长/衰减
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半衰期
- k = ln 2 / t½
- 牛顿冷却定律
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 积分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合槽
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
数列与级数
- 等差数列
- aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
- 等比数列
- aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
- 无穷等比级数
- S = a₁/(1 − r), |r| < 1
- p-级数
- Σ1/kᵖ converges only for p > 1
- 比值判别法
- L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
- 收敛半径
- R = lim |ck/ck+1|
- 泰勒多项式
- Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
- 麦克劳林级数
- eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
- 拉格朗日误差界
- |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
方法
- 判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
- 求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
- 判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
- 对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (−x2 + 2x − 4)/(x2 + 6x + 8)。
f(x) = (−x2 + 2x − 4)/(x2 + 6x + 8)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (ex − 1 − x)/x²。
f(x) = (ex − 1 − x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x·sin(x)，x 以弧度计。求 f′(1)。
f(x) = x·sin(x)x = 1 rad
f′(1) =
4.导数困难
设 f(x) = x3 + 7.5x2 + 12x − 5。求局部极小值点的 x 坐标 x。
f(x) = x3 + 7.5x2 + 12x − 5
x =
5.最优化中等
一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 400 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时罐的高度 h。
V = 400 cm³
h = cm
6.最优化困难
一家剧院每场以每张 €15 售出 240 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 10 张（每降低 €1，就多 10 张）。 求每场的最大收入 R。
240 × €1510 / €1
R = €
7.积分中等
计算 I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx。
f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 1]
I =
8.积分困难
求由 y = 2x2 和 y = 2x 围成区域的面积 A。
y = 2x2y = 2x
A =
9.微分方程中等
一罐 5 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 24 °C 的房间里。 23 min 后其温度为 21 °C。 它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。 从开始算起需要多长时间 t 才能达到 11 °C？
T0 = 5 °CTa = 24 °CT(23) = 21 °CT = 11 °C
t = min
10.微分方程困难
解 y″ + y′ + 9.25y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。
y″ + y′ + 9.25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.75) =
11.数列与级数中等
求幂级数 Σk=1∞ k·4ᵏ·xᵏ 的收敛半径 R。
Σ k·4ᵏ·xᵏx₀ = 0
R =
12.数列与级数困难
f(x) = sin x 在 x = 2 处用其 n 次麦克劳林多项式近似。利用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1），求能保证误差小于 1 × 10⁻⁶ 的最小次数 n。
f(x) = sin xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
3溶液
1.极限
答案: L = −1
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(−1 + 2/x + (−4)/x2)/(1 + 6/x + 8/x2)
令 x → ∞
L = −1/1 = −1
答案
L = −1
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 0.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(1·ex − 1)/(2x) → 0/0
第二次应用
1·ex/2
代入 x = 0
L = 1·1/2 = 0.5
答案
L = 0.5
3.导数
答案: f′(1) = 1.382
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则与链式法则
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
代入
f′(1) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382
答案
f′(1) = 1.382
4.导数
答案: x = −1
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
导数
f′(x) = 3x2 + 15x + 12 = 3·(x2 + 5x + 4)
解 f′(x) = 0
x = −4 或 x = −1
判断哪个是哪个
f″(x) = 6x + 15：在极大值处为负，在极小值处为正。
f″(−4) = −9, f″(−1) = 9
x = −1
答案
x = −1
5.最优化
答案: h = 7.986 cm
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 r 的函数
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
令导数为零
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0，所以这是最小值。
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3.993 cm
高度和面积
h = 400/(π·3.993²) = 2r = 7.986 cm
A = 2π·3.993² + 800/3.993 = 300.5 cm²
答案
h = 7.986 cm
最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。
6.最优化
答案: R = 3803 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
收入关于价格的函数
n(p) = 390 − 10p
R(p) = 390p − 10p²
令导数为零
R″(p) = −20 < 0，所以这是最大值。
p = 390/20 = €19.5
最大收入
n = 390 − 10·19.5 = 195
R = 19.5·195 = €3803
答案
R = €3803
7.积分
答案: I = 2.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
换元
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u2 du
积分并代入上下限
I = [u3/3]12 = (8 − 1)/3 = 2.333
答案
I = 2.333
8.积分
答案: A = 0.3333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
2x2 = 2x → x = 0, x = 1
对上减下积分
A = [x2 − 0.6667x3]01 = 0.3333
答案
A = 0.3333
9.微分方程
答案: t = 4.729 min
一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·ekt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e∫p dx 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。
冷却常数
k = ln(-19/-3)/23 = 0.08025 min⁻¹
达到目标温度的时间
t = ln(-19/(−13))/0.08025 = 4.729 min
答案
t = 4.729 min
10.微分方程
答案: y(0.75) = −1.028
二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。
复根
r = −0.5 ± 3j
常数
A = 3, B = 0.5·3/3 = 0.5
求值
y(0.75) = e−0.375(3·cos 2.25 + 0.5·sin 2.25) = −1.028
答案
y(0.75) = −1.028
11.数列与级数
答案: R = 0.25
收敛性：如果各项不趋于 0，级数发散（通项判别法）。Σ1/kᵖ 仅当 p > 1 时收敛，Σrᵏ 仅当 |r| < 1 时收敛。当一个级数的项在 k 很大时与这些级数的项相近时，可与之比较。比值判别法：L = lim |ak+1/ak|；根值判别法：L = lim |ak|1/k。L < 1 收敛，L > 1 发散，L = 1 无法判断。幂级数 Σck(x − x₀)ᵏ 在 |x − x₀| < R 时收敛，其中 R = lim |ck/ck+1|；项递减趋于 0 的交错级数收敛。
系数
ck/ck+1 = (1/4)·(k/(k + 1)) → 1/4
半径
R = 0.25
答案
R = 0.25
比值判别法对两个端点没有结论；必须单独检验它们。
12.数列与级数
答案: n = 13
泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。
n 增大时的误差界
n = 12: 1.316 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 13: 1.879 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶
最小次数
n = 13
答案
n = 13
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