AP Calculus 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (x² + 2x + 8)/(x² + 5x + 2)。

f(x) = (x² + 2x + 8)/(x² + 5x + 2)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x²。

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x³·e^x。求 f′(1.5)。

f(x) = x³·e^xx = 1.5

f′(1.5) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 9x² + 15x + 3。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 9x² + 15x + 3

x =

5.最优化中等

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 355 cm³。所用金属与总表面积成正比。求用料最少时罐的高度 h。

V = 355 cm³

h = cm

6.最优化困难

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 130 − 2q 欧元/件，成本为 C(q) = 100 + 100q 欧元。求最大周利润 P。

p = 130 − 2qC = 100 + 100q

P = €

7.积分中等

计算 I = ∫₁² x·ln x dx。

∫₁² x ln x dx

I =

8.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = 2x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = 2x

A =

9.微分方程中等

解 y″ + 6y′ + 9y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = -2。求 y(1.5)。

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = -2

y(1.5) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(1)；角度以弧度为单位。

y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

11.数列与级数中等

对 Σ_k=1^∞ (k!)²·1ᵏ/(2k)! 应用比值判别法。求 L = lim |a_k+1/a_k|。

a_k = (k!)²·1ᵏ/(2k)!

L =

12.数列与级数困难

f(x) = ln(1 + x) 在 x = 0.2 处用其 2 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 2! = 2）求最大可能误差 |R₂|。

f(x) = ln(1 + x)n = 2x = 0.2M = 2

|R₂| =

3溶液

1.极限

答案: L = 1

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(1 + 2/x + 8/x²)/(1 + 5/x + 2/x²)

令 x → ∞

L = 1/1 = 1

答案

L = 1

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 0.5

第一次应用

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

第二次应用

1·e^x/2

代入 x = 0

L = 1·1/2 = 0.5

答案

L = 0.5

3.导数

答案: f′(1.5) = 45.38

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

代入

f′(1.5) = 4.482·(6.75 + 3.375) = 45.38

答案

f′(1.5) = 45.38

4.导数

答案: x = 5

导数

f′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3·(x² − 6x + 5)

解 f′(x) = 0

x = 1 或 x = 5

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 18：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(1) = −12, f″(5) = 12

x = 5

答案

x = 5

5.最优化

答案: h = 7.674 cm

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

面积关于 r 的函数

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

令导数为零

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0，所以这是最小值。

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3.837 cm

高度和面积

h = 355/(π·3.837²) = 2r = 7.674 cm

A = 2π·3.837² + 710/3.837 = 277.5 cm²

答案

h = 7.674 cm

最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。

6.最优化

答案: P = 12.5 €

利润函数

P(q) = (130 − 2q)·q − (100 + 100q) = −2q² + 30q − 100

令导数为零

P″(q) = −4 < 0，所以这是最大值。

q = 30/4 = 7.5

价格和利润

p = 130 − 2·7.5 = €115

P = 30·7.5 − 2·7.5² − 100 = €12.5

答案

P = €12.5

7.积分

答案: I = 0.6363

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0.25) = 0.6363

答案

I = 0.6363

8.积分

答案: A = 0.3333

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

2x² = 2x → x = 0, x = 1

对上减下积分

A = [x² − 0.6667x³]₀¹ = 0.3333

答案

A = 0.3333

9.微分方程

答案: y(1.5) = 0.08887

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 3)² = 0 → r = −3

常数

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = -2 + 6 = 4

求值

y(1.5) = (2 + 4·1.5)·e^−4.5 = 0.08887

答案

y(1.5) = 0.08887

10.微分方程

答案: y(1) = 1.209

稳态值与根

y_ss = 1, r = −1.5 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −0.375

求值

y(1) = 1·(1 − e^−1.5(cos 4 + 0.375·sin 4)) = 1.209

答案

y(1) = 1.209

11.数列与级数

答案: L = 0.25

相邻项之比

|a_k+1/a_k| = 1·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 1/4

结论

L = 0.25 < 1

答案

L = 0.25

L < 1，所以级数收敛。

12.数列与级数

答案: |R₂| = 0.002667

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = 2! = 2

拉格朗日误差界

|R₂| ≤ 2·0.2³/3! = 0.002667

答案

|R₂| = 0.002667

真实误差更小：|f(0.2) − P₂(0.2)| = 0.002322。

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