AP Calculus 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 0.5/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 + 0.5/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(5x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + x)/sin(5x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x²·e^x。求 f′(1.5)。

f(x) = x²·e^xx = 1.5

f′(1.5) =

4.导数困难

f(x) = 3x² − 3x − 3 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² − 3x − 3x = −1

b =

5.最优化中等

一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 355 cm³。所用金属与总表面积成正比。求用料最少时的半径 r。

V = 355 cm³

r = cm

6.最优化困难

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 70 − 0.5q 欧元/件，成本为 C(q) = 900 + 15q 欧元。求使利润最大的每周产量 q。

p = 70 − 0.5qC = 900 + 15q

q = 件

7.积分中等

计算 I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

8.积分困难

计算 I = ∫₀² x²·eˣ dx。

∫₀² x²eˣ dx

I =

9.微分方程中等

一杯 91 °C 的咖啡放在 21 °C 的房间里。 6 min 后其温度为 62 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 44 °C？

T₀ = 91 °CT_a = 21 °CT(6) = 62 °CT = 44 °C

t = min

10.微分方程困难

一个水箱装有 100 L 水，其中溶有 5 kg 盐。每升含盐 0.2 kg 的盐水以 4 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 40 min 后水箱中有多少盐 m？

V = 100 Lm₀ = 5 kgc = 0.2 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

11.数列与级数中等

求和 S = Σ_k=1^∞ 1/(k(k + 4))。

a_k = 1/(k(k + 4))

S =

12.数列与级数困难

f(x) = ln(1 + x) 在 x = 0.1 处用其 4 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 4! = 24）求最大可能误差 |R₄|。

f(x) = ln(1 + x)n = 4x = 0.1M = 24

|R₄| =

3溶液

1.极限

答案: L = 1.649

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 0.5/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·0.5 = 0.5

还原对数

L = e^0.5 = 1.649

答案

L = 1.649

2.极限

答案: L = 0.2

洛必达法则

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[5·cos 5x]

代入 x = 0

L = 1/5 = 0.2

答案

L = 0.2

3.导数

答案: f′(1.5) = 23.53

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

代入

f′(1.5) = 4.482·(3 + 2.25) = 23.53

答案

f′(1.5) = 23.53

4.导数

答案: b = −6

切点和斜率

f(−1) = 3

f′(x) = 6x − 3 → f′(−1) = −9

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3 − (−9)·(−1) = −6

答案

b = −6

5.最优化

答案: r = 3.837 cm

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

面积关于 r 的函数

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

令导数为零

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0，所以这是最小值。

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3.837 cm

高度和面积

h = 355/(π·3.837²) = 2r = 7.674 cm

A = 2π·3.837² + 710/3.837 = 277.5 cm²

答案

r = 3.837 cm

最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。

6.最优化

答案: q = 55 件

利润函数

P(q) = (70 − 0.5q)·q − (900 + 15q) = −0.5q² + 55q − 900

令导数为零

P″(q) = −1 < 0，所以这是最大值。

q = 55/1 = 55

价格和利润

p = 70 − 0.5·55 = €42.5

P = 55·55 − 0.5·55² − 900 = €612.5

答案

q = 55

7.积分

答案: I = 12

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

积分并代入上下限

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

答案

I = 12

8.积分

答案: I = 12.78

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

7.389·(2) − 1·2 = 12.78

答案

I = 12.78

9.微分方程

答案: t = 12.48 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(70/41)/6 = 0.08915 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(70/23)/0.08915 = 12.48 min

答案

t = 12.48 min

10.微分方程

答案: m = 16.97 kg

列方程

dm/dt = 4·0.2 − (4/100)·m = 0.8 − 0.04·m

求解

积分因子为 e^rt/V；解趋近于平衡值 c·V。

m(t) = 20 + (−15)·e^−t/25

代入 t

m(40) = 20 + (−15)·0.2019 = 16.97 kg

答案

m = 16.97 kg

11.数列与级数

答案: S = 0.5208

部分分式

1/(k(k + 4)) = (1/4)·(1/k − 1/(k + 4))

取消

S = (1/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 0.5208

答案

S = 0.5208

12.数列与级数

答案: |R₄| = 2 × 10⁻⁶

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = 4! = 24

拉格朗日误差界

|R₄| ≤ 24·0.1⁵/5! = 2 × 10⁻⁶

答案

|R₄| = 2 × 10⁻⁶

真实误差更小：|f(0.1) − P₄(0.1)| = 1.846 × 10⁻⁶。

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