AP Calculus 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² − 5x) − x)。

f(x) = √(x² − 5x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²。

f(x) = (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(x)，x 以弧度计。求 f′(2)。

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.导数困难

f(x) = −x² + 2x + 1 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = −x² + 2x + 1x = −1

b =

5.最优化中等

一块 300 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €40；其他三边每米造价 €12。求使造价最低的临街边长度 x。

A = 300 m²€40/m€12/m

x = m

6.最优化困难

一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 70 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 200 + 25q 欧元。求使利润最大的价格 p。

p = 70 − 1qC = 200 + 25q

p = €

7.积分中等

计算 I = ∫₀¹ x·cos x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀¹ x·cos x dx

I =

8.积分困难

将直线 y = 3x 与抛物线 y = 3x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = 3xy = 3x²

V =

9.微分方程中等

解 y″ + 4y′ + 4y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = 0。求 y(0.5)。

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.5) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 18.25y = 36.5，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 3y′ + 18.25y = 36.5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.数列与级数中等

求和 S = Σ_k=1^∞ 5/(k(k + 3))。

a_k = 5/(k(k + 3))

S =

12.数列与级数困难

f(x) = eˣ 在 x = −0.5 处用其 3 次麦克劳林多项式近似。用拉格朗日误差界 M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)!（M = 1）求最大可能误差 |R₃|。

f(x) = eˣn = 3x = −0.5M = 1

|R₃| =

3溶液

1.极限

答案: L = −2.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −5x/(√(x² − 5x) + x)

除以 x

f(x) = −5/(√(1 + (−5)/x) + 1)

令 x → ∞

L = −5/(1 + 1) = −2.5

答案

L = −2.5

2.极限

答案: L = 0.125

第一次应用

(0.5·e^0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

第二次应用

0.25·e^0.5x/2

代入 x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

答案

L = 0.125

3.导数

答案: f′(2) = 0.077

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

代入

f′(2) = 0.9093 + 2·(−0.4161) = 0.077

答案

f′(2) = 0.077

4.导数

答案: b = 2

切点和斜率

f(−1) = −2

f′(x) = −2x + 2 → f′(−1) = 4

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − 4·(−1) = 2

答案

b = 2

5.最优化

答案: x = 11.77 m

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

造价关于 x 的函数

C(x) = 52x + 7200/x

令导数为零

C″(x) = 14400/x³ > 0，所以这是最小值。

x = √(7200/52) = 11.77 m

y = 300/11.77 = 25.5 m

最低造价

C = 52·11.77 + 7200/11.77 = €1224

答案

x = 11.77 m

6.最优化

答案: p = 47.5 €

利润函数

P(q) = (70 − 1q)·q − (200 + 25q) = −q² + 45q − 200

令导数为零

P″(q) = −2 < 0，所以这是最大值。

q = 45/2 = 22.5

价格和利润

p = 70 − 1·22.5 = €47.5

P = 45·22.5 − 1·22.5² − 200 = €306.3

答案

p = €47.5

7.积分

答案: I = 0.3818

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原函数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

极限

(1·sin 1 + cos 1) − (0 + 1) = 0.3818

答案

I = 0.3818

8.积分

答案: V = 3.77

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

3x = 3x² → x = 0, x = 1

垫圈法

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

积分

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1.2 = 3.77

答案

V = 3.77

9.微分方程

答案: y(0.5) = 2.207

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 2)² = 0 → r = −2

常数

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 2A → B = 0 + 6 = 6

求值

y(0.5) = (3 + 6·0.5)·e⁻¹ = 2.207

答案

y(0.5) = 2.207

10.微分方程

答案: y_max = 2.616

稳态值与根

y_ss = 2, r = −1.5 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −0.75

峰值

t = π/4 = 0.7854

y_max = 2·(1 + e^−1.5·π/4) = 2.616

答案

y_max = 2.616

11.数列与级数

答案: S = 3.056

部分分式

5/(k(k + 3)) = (5/3)·(1/k − 1/(k + 3))

取消

S = (5/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 3.056

答案

S = 3.056

12.数列与级数

答案: |R₃| = 0.002604

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

导数的上界

M = 1

拉格朗日误差界

|R₃| ≤ 1·0.5⁴/4! = 0.002604

答案

|R₃| = 0.002604

真实误差更小：|f(−0.5) − P₃(−0.5)| = 0.002364。

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