AP Calculus 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 12 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

最优化

方法: 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
最大值: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
最小值: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
封闭圆柱: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
利润: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

数列与级数

等差数列: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
等比数列: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
无穷等比级数: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-级数: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
比值判别法: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
收敛半径: R = lim |c_k/c_k+1|
泰勒多项式: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
麦克劳林级数: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
拉格朗日误差界: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

方法

判断类型：等差（公差恒定）、等比（公比恒定）、标准级数、幂级数还是泰勒多项式。
求和时使用 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2、Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)，或 |r| < 1 时使用 S = a₁/(1 − r)，其中 a₁ 是和的第一项。
判断收敛性：先用通项判别法，再与 Σ1/kᵖ 或等比级数比较，含阶乘和 k 次幂的级数用比值判别法或根值判别法。
对于泰勒多项式，列出 f(a)、f′(a)、f″(a)、…，把第 k 阶导数除以 k!，并用 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! 估计误差。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^2x。给出小数值。

f(x) = (1 + 1/x)^2xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x²。

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = ln(3x² + 4)。求 f′(−1)。

f(x) = ln(3x² + 4)x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

f(x) = 2x² + 4x − 6 在 x = −2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 2x² + 4x − 6x = −2

b =

5.最优化中等

一块 400 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €30；其他三边每米造价 €12。求最低总造价 C。

A = 400 m²€30/m€12/m

C = €

6.最优化困难

一家小企业以固定的市场价格每件 €35 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 500 + 10q + 0.2q² 欧元。求使利润最大的产量 q。

p = €35C = 500 + 10q + 0.2q²

q = 件

7.积分中等

计算 I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

8.积分困难

求由 y = x² 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = x²y = x

A =

9.微分方程中等

解 y″ + 5y′ + 4y = 0，其中 y(0) = 1，y′(0) = 0。求 y(1)。

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1) =

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + y/x = 3，x > 0，y(1) = 0。求 y(3)。

y′ + y/x = 3y(1) = 0

y(3) =

11.数列与级数中等

求和 S = Σ_k=1⁴⁰ 1/(k(k + 1))。

a_k = 1/(k(k + 1))n = 40

S =

12.数列与级数困难

用 f(x) = 1/(1 − x) 的 3 次麦克劳林多项式近似 f(0.5)。给出 P₃(0.5)。

f(x) = 1/(1 − x)n = 3x = 0.5

P₃(0.5) =

3溶液

1.极限

答案: L = 7.389

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 2·1 = 2

还原对数

L = e² = 7.389

答案

L = 7.389

2.极限

答案: L = 0.5

第一次应用

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

第二次应用

1·e^x/2

代入 x = 0

L = 1·1/2 = 0.5

答案

L = 0.5

3.导数

答案: f′(−1) = −0.8571

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

对数的链式法则

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

代入

f′(−1) = −6/7 = −0.8571

答案

f′(−1) = −0.8571

4.导数

答案: b = −14

切点和斜率

f(−2) = −6

f′(x) = 4x + 4 → f′(−2) = −4

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −6 − (−4)·(−2) = −14

答案

b = −14

5.最优化

答案: C = 1270 €

最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。

造价关于 x 的函数

C(x) = 42x + 9600/x

令导数为零

C″(x) = 19200/x³ > 0，所以这是最小值。

x = √(9600/42) = 15.12 m

y = 400/15.12 = 26.46 m

最低造价

C = 42·15.12 + 9600/15.12 = €1270

答案

C = €1270

6.最优化

答案: q = 62.5 件

利润函数

P(q) = 35q − (500 + 10q + 0.2q²) = −0.2q² + 25q − 500

令导数为零

P″(q) = −0.4 < 0，所以这是最大值。

25 − 0.4q = 0 → q = 62.5

最大利润

P = 25·62.5 − 0.2·62.5² − 500 = €281.3

答案

q = 62.5

7.积分

答案: I = 12

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

积分并代入上下限

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

答案

I = 12

8.积分

答案: A = 0.1667

交点

x² = x → x = 0, x = 1

对上减下积分

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

答案

A = 0.1667

9.微分方程

答案: y(1) = 0.4844

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

由初值求常数

A + B = 1, −1A − 4B = 0

A = 1.333, B = −0.3333

求值

y(1) = 1.333·e⁻¹ + (−0.3333)·e⁻⁴ = 0.4844

答案

y(1) = 0.4844

10.微分方程

答案: y(3) = 4

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

积分

(x¹y)′ = 3x → x¹y = 3x²/2 + C

初始条件

0 = 3/2 + C → C = −1.5

求值

y(3) = (3·3²/2 + (−1.5))/3¹ = 4

答案

y(3) = 4

11.数列与级数

答案: S = 0.9756

部分分式

1/(k(k + 1)) = 1·(1/k − 1/(k + 1))

取消

S = 1·(1 − 1/41) = 0.9756

答案

S = 0.9756

12.数列与级数

答案: P₃(0.5) = 1.875

泰勒多项式：在 x = a 附近，光滑函数可用 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! 近似；当 a = 0 时这就是麦克劳林多项式。标准级数：eˣ = Σxᵏ/k!，sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …，cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …，ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …，1/(1 − x) = Σxᵏ。拉格朗日误差界：|f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!，其中 M 是 |f⁽ⁿ⁺¹⁾| 在 a 与 x 之间的最大值。

麦克劳林多项式

P₃(x) = 1 + x + x² + x³

代入

P₃(0.5) = 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 = 1.875

答案

P₃(0.5) = 1.875

精确值为 f(0.5) = 2；取更多项或取更靠近 0 的点时，误差 0.125 会变小。

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