AP Physics 1 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.7 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.7 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 190 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 190 Nθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 9 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 物体相连。悬挂物向下运动。斜面无摩擦。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 6 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 12 m/s、与水平方向成 60° 的角度朝 8 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 12 m/sθ = 60°x = 8 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 12 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 90 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 90 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个小球系在长 1.2 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 1.2 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个 4 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 19 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 4 kgθ = 15°μ = 0.15d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一辆 1 kg 的小车从光滑轨道上 3.9 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 1 kgh = 3.9 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 1.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 11 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 1.5 kgh = 11 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 1.2 m 的轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 25°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 5 kgL = 1.2 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.1 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.1 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

把一个 1 kg 的物体挂在一根 k = 260 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的最大速度 v_max。

m = 1 kgk = 260 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

3溶液

1.运动学

答案: s = 12.02 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·6.5) = 12.02 m

答案

s = 12.02 m

2.运动学

答案: d = 60.86 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.7 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1269 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1269))/(2·4.905) = 3.523 s

深度

d = ½·9.81·3.523² = 60.86 m

答案

d = 60.86 m

3.牛顿定律

答案: a = 6.709 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 190·sin 30° = 101.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 164.5 − 30.36

a = 134.2/20 = 6.709 m/s²

答案

a = 6.709 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 52.97 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 58.86 N

m₁·g·sin θ = 44.14 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系统的加速度

a = (58.86 − 44.14 − 0)/15 = 0.981 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 6·(9.81 − 0.981) = 52.97 N

答案

T = 52.97 N

5.抛体运动

答案: y = 5.136 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 12·cos 60° = 6 m/s

t = x/v_x = 8/6 = 1.333 s

此时的高度

y = 10.39·1.333 − ½·9.81·1.333² = 5.136 m

答案

y = 5.136 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: t = 3.67 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 55° = 6.883 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 55° = 9.83 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 9.83·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.83 + √(96.63 + 588.6))/9.81 = 3.67 s

答案

t = 3.67 s

7.圆周运动

答案: v_max = 26.58 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·90) = 26.58 m/s

答案

v_max = 26.58 m/s (95.68 km/h)

8.圆周运动

答案: v_min = 3.431 m/s

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.2) = 3.431 m/s

答案

v_min = 3.431 m/s

9.功和能

答案: W_f = 108 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 39.24·0.9659 = 37.9 N

F = μN = 0.15·37.9 = 5.685 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 5.685·19 = 108 J

答案

W_f = 108 J

10.功和能

答案: N = 1.962 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(3.9 − 3) = 17.66 m²/s²

顶点的受力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·17.66/1.5 − 9.81 = 1.962 N

答案

N = 1.962 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 276.9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.11) = 1.469 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 1.5)·1.469/0.008 = 276.9 m/s

答案

v = 276.9 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 929.8 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.2·(1 − cos 25°) = 0.1124 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.1124) = 1.485 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 5.008·1.485/0.008 = 929.8 m/s

答案

v = 929.8 m/s

13.弹簧与单摆

答案: T = 2.907 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.1/9.81) = 2.907 s

答案

T = 2.907 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.6084 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 1·9.81/260 = 0.03773 m = A

最大速度

速度在平衡位置处最大。

ω = √(260/1) = 16.12 rad/s

v_max = A·ω = 0.03773·16.12 = 0.6084 m/s

答案

v_max = 0.6084 m/s

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