AP Physics 1 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

2练习题

1.运动学中等

一位以 50 km/h 行驶的司机看到一个障碍物。她的反应时间为 1.5 s，之后汽车以 5 m/s² 的恒定减速度制动。求从她看到障碍物起的总停车距离 d。

v₀ = 50 km/ht_r = 1.5 sa = −5 m/s²

d = m

2.运动学困难

一块石头由静止释放落入井中。释放后 3.8 s 听到落水声。声速为 343 m/s；忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求井的深度 d。

t_total = 3.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.牛顿定律中等

一个 35 kg 的雪橇被一根与水平方向成 35° 向上的绳子以 160 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 35 kgF = 160 Nθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 5 kgm₂ = 6 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v₀ = 18 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶部以 26 m/s、与水平方向成 15° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 26 m/sθ = 15°h = 55 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 70 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.6。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 70 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一辆 4 kg 的小车在无摩擦轨道上从 42.5 m 高处由静止释放，驶过一个半径为 8.5 m 的竖直圆环。取 g = 9.81 m/s²。求小车在圆环底部时轨道对它的法向力 N_bottom。

m = 4 kgh = 42.5 mR = 8.5 mg = 9.81 m/s²

N_bottom = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 400 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.05 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 10 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.05 kgk = 400 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

在 20° 斜坡底部有一根刚度为 1000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 15 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.1。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 1000 N/mx = 15 cmθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一个以 9 m/s 水平运动的 9 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。1 kg 的碎片以 46 m/s 继续向前运动。求 8 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 9 kgu = 9 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 46 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 26 m/s 撞到墙上，并以 15 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.2 kgv_in = 26 m/sv_out = 15 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 320 N/m 弹簧上的 0.5 kg 物体在无摩擦表面上以 6 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 3 cm 时的速度 v。

m = 0.5 kgk = 320 N/mA = 6 cmx = 3 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 3.5 s，振幅为 8 cm。它从平衡位置运动到位移 3.2 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 3.5 sA = 8 cmx = 3.2 cm

t = s

3溶液

1.运动学

答案: d = 40.12 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v₀ = 50/3.6 = 13.89 m/s

反应距离

d₁ = v₀·t_r = 13.89·1.5 = 20.83 m

制动距离

d₂ = v₀²/(2a) = 13.89²/(2·5) = 19.29 m

合计

d = 20.83 + 19.29 = 40.12 m

答案

d = 40.12 m

2.运动学

答案: d = 64.04 m

时间的两部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1303 = 0

下落时间

只有正根有物理意义。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1303))/(2·4.905) = 3.613 s

深度

d = ½·9.81·3.613² = 64.04 m

答案

d = 64.04 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.948 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 343.4 − 160·sin 35° = 251.6 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 131.1 − 62.89

a = 68.17/35 = 1.948 m/s²

答案

a = 1.948 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 38.42 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 58.86 N

m₁·g·sin θ = 16.78 N

μ·m₁·g·cos θ = 4.609 N

系统的加速度

a = (58.86 − 16.78 − 4.609)/11 = 3.407 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 6·(9.81 − 3.407) = 38.42 N

答案

T = 38.42 N

5.抛体运动

答案: H = 2.949 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 25° = 16.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 25° = 7.607 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 7.607²/(2·9.81) = 2.949 m

答案

H = 2.949 m

6.抛体运动

答案: α = 53.17 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 26·cos 15° = 25.11 m/s

v_y0 = 26·sin 15° = 6.729 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(6.729² + 2·9.81·55) = 33.53 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 33.53/25.11 → α = 53.17°

答案

α = 53.17°

7.圆周运动

答案: v_max = 20.3 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·70) = 20.3 m/s

答案

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.圆周运动

答案: N_bottom = 431.6 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

由能量守恒求速度

v² = 2·9.81·42.5 = 833.9 m²/s²

受力

指向圆心为正。

N = m·v²/R + m·g = 4·833.9/8.5 + 39.24 = 431.6 N

答案

N_bottom = 431.6 N

9.功和能

答案: h = 4.077 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·400·0.1² = 2 J

高度

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 2/0.4905 = 4.077 m

答案

h = 4.077 m

10.功和能

答案: d = 0.8768 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·1000·0.15² = 11.25 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 11.25/(29.43·(0.342 + 0.1·0.9397)) = 0.8768 m

答案

d = 0.8768 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 4.375 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 9·9 = 81 kg·m/s

碰撞后的动量

81 = 1·46 + 8·v′₂

v′₂ = (81 − 46)/8 = 4.375 m/s

答案

v′₂ = 4.375 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 8.2 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(15 + 26) = 8.2 N·s

答案

J = 8.2 N·s

13.弹簧与单摆

答案: v = 1.315 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(320/0.5) = 25.3 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 25.3·√(0.06² − 0.03²) = 1.315 m/s

答案

v = 1.315 m/s

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.2292 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/3.5 = 1.795 rad/s

求解时间

0.4 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.4) = 0.4115 rad

t = 0.4115/1.795 = 0.2292 s

答案

t = 0.2292 s

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