AP Physics 1 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

2练习题

1.运动学中等

一架飞机从静止开始，以 3 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1400 m 后的速度 v。

v₀ = 0a = 3 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 15 s，最后以 2 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 1.5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 15 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 3 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 1.5 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 3 m/sd = 1.5 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

倾角为 35° 的斜面上有一个 2.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 7 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 7 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 28 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 60° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

在游乐场的转筒中，乘客背靠在半径为 2.4 m 的竖直圆筒壁上。圆筒转得足够快时，底板下降，靠摩擦力托住乘客。静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求最小转速 n，以每分钟转数表示。

r = 2.4 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.圆周运动困难

一个 0.2 kg 的小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.2 kgr = 1.3 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 5 kg 的球挂在长 0.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 60°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 5 kgL = 0.5 mθ = 60°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

在 15° 斜坡底部有一根刚度为 2000 N/m 的弹簧，它顶着一个 3 kg 的物块被压缩 20 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.3。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 3 kgk = 2000 N/mx = 20 cmθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

一辆以 25 m/s 行驶的 1100 kg 汽车撞上一辆静止的 800 kg 汽车，两车卡在一起。原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？

m₁ = 1100 kgv₁ = 25 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 15 m/s 向东行驶的 1100 kg 汽车与一辆以 8 m/s 向北行驶的 1500 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的方向 θ，以东偏北的角度表示。

m₁ = 1100 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1500 kgv₂ = 8 m/s (N)

θ = °

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.7 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.77 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.7 mT = 1.77 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 2.7 kg 的物体连在 k = 160 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 17 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 2.7 kgk = 160 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

3溶液

1.运动学

答案: v = 91.65 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

经过该距离后的速度

v = √(2·a·s) = √(2·3·1400) = 91.65 m/s

答案

v = 91.65 m/s

(329.9 km/h)

2.运动学

答案: s = 264 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 1.5·8 = 12 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·1.5·8² = 48 m

s₂ = 12·15 = 180 m

s₃ = 12²/(2·2) = 36 m

总距离

s = 48 + 180 + 36 = 264 m

答案

s = 264 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.3058

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·1.5) = 3 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3/9.81 = 0.3058

答案

μ = 0.3058

4.牛顿定律

答案: a = 5.536 m/s²

沿绳子方向的力

m₂·g = 68.67 N

m₁·g·sin θ = 14.07 N

μ·m₁·g·cos θ = 2.009 N

系统的加速度

a = (68.67 − 14.07 − 2.009)/9.5 = 5.536 m/s²

答案

a = 5.536 m/s²

5.抛体运动

答案: t = 4.676 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 55° = 16.06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 55° = 22.94 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·22.94/9.81 = 4.676 s

答案

t = 4.676 s

6.抛体运动

答案: x = 123.3 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 60° = 17.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 60° = 30.31 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 30.31·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (30.31 + √(918.7 + 588.6))/9.81 = 7.047 s

水平距离

x = v_x·t = 17.5·7.047 = 123.3 m

答案

x = 123.3 m

7.圆周运动

答案: n = 30.53 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

乘客受到的力

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

角速度

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·2.4)) = 3.197 rad/s

转速

n = ω·60/(2π) = 30.53 rpm

答案

n = 30.53 rpm

8.圆周运动

答案: T = 3.847 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.2·9.81 + 0.2·3.5²/1.3 = 1.962 + 1.885 = 3.847 N

答案

T = 3.847 N

9.功和能

答案: T = 98.1 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 60°) = 4.905 m²/s²

最低点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·4.905/0.5 = 98.1 N

答案

T = 98.1 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 98.1 N。

10.功和能

答案: d = 2.478 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·2000·0.2² = 40 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 40/(29.43·(0.2588 + 0.3·0.9659)) = 2.478 m

答案

d = 2.478 m

11.动量与碰撞

答案: ΔK/K = 42.11 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共同速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·25/1900 = 14.47 m/s

碰撞前后的动能

K_before = ½·1100·25² = 343750 J

K_after = ½·1900·14.47² = 199013 J

损失的比例

ΔK/K = 144737/343750 = 42.11 %

答案

ΔK/K = 42.11 %

损失的能量转化为形变、热和声音。

12.动量与碰撞

答案: θ = 36.03 °

动量分量

p_x = 1100·15 = 16500 kg·m/s

p_y = 1500·8 = 12000 kg·m/s

方向

tan θ = p_y/p_x = 0.7273 → θ = 36.03°

答案

θ = 36.03°

13.弹簧与单摆

答案: g = 8.821 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.7/1.77² = 8.821 m/s²

答案

g = 8.821 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.309 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(160/2.7) = 7.698 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.17·7.698 = 1.309 m/s

答案

v_max = 1.309 m/s

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