AP Physics 1 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

2练习题

1.运动学中等

一辆以 108 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 108 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 8 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 8 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

质量为 9 kg 和 7.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求物体的加速度 a。

m₁ = 9 kgm₂ = 7.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

倾角为 30° 的斜面上有一个 1.5 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 8.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 8.5 kgθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s 抛出，必须落在 55 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 26 m/sR = 55 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶部以 28 m/s、与水平方向成 55° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它落地时与水平方向向下成多大角度 α？

v₀ = 28 m/sθ = 55°h = 5 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.圆周运动中等

一个半径为 140 m 的弯道倾斜 25°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 140 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.9 kg 的球系在长 1.4 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 10 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.9 kgr = 1.4 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 2 kg 的物块沿倾角 35° 的斜面下滑 19 m，动摩擦因数为 0.4。求克服摩擦做的功 W_f。

m = 2 kgθ = 35°μ = 0.4d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.功和能困难

一个 1 kg 的物块从光滑坡道上 4 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 1 kgh = 4 mL = 2.5 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 2.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 21 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 2.5 kgh = 21 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 1.6 m 的轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 35°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 3 kgL = 1.6 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 360 N/m 弹簧上的 2.1 kg 物体被沿正方向拉开 15 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.2 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 2.1 kgk = 360 N/mA = 15 cmt = 0.2 s

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 0.5 s，振幅为 13 cm。它从最大位移 13 cm 处运动到位移 10.4 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 0.5 sA = 13 cmx = 10.4 cm

t = s

3溶液

1.运动学

答案: s = 75 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·6) = 75 m

答案

s = 75 m

2.运动学

答案: t = 2.46 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·10))/9.81 = 2.46 s

答案

t = 2.46 s

3.牛顿定律

答案: a = 0.8918 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。

a = (9 − 7.5)·9.81/(9 + 7.5) = 0.8918 m/s²

答案

a = 0.8918 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 20.39 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 83.39 N

m₁·g·sin θ = 7.357 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.912 N

系统的加速度

a = (83.39 − 7.357 − 1.912)/10 = 7.412 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 8.5·(9.81 − 7.412) = 20.39 N

答案

T = 20.39 N

5.抛体运动

答案: θ = 26.48 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·55/26² = 0.7982

相角

2θ = 52.95° → θ = 26.48°

答案

θ = 26.48°

另一个解为 90° − θ = 63.52°。

6.抛体运动

答案: α = 57.27 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 28·cos 55° = 16.06 m/s

v_y0 = 28·sin 55° = 22.94 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

v_y = √(22.94² + 2·9.81·5) = 24.98 m/s

落地角度

tan α = v_y/v_x = 24.98/16.06 → α = 57.27°

答案

α = 57.27°

7.圆周运动

答案: v = 25.31 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(140·9.81·tan 25°) = 25.31 m/s

答案

v = 25.31 m/s

(91.1 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 20.14 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 10² − 4·9.81·1.4 = 45.06 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.9·45.06/1.4 − 0.9·9.81 = 20.14 N

答案

T_top = 20.14 N

9.功和能

答案: W_f = 122.1 J

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 19.62·0.8192 = 16.07 N

F = μN = 0.4·16.07 = 6.429 N

克服摩擦做的功

W_f = F·d = 6.429·19 = 122.1 J

答案

W_f = 122.1 J

10.功和能

答案: v = 8.287 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 9.81·(4 − 0.2·2.5) = 34.34 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

答案

v = 8.287 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 340.3 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.21) = 2.03 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 2.5)·2.03/0.015 = 340.3 m/s

答案

v = 340.3 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 895.9 m/s

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 35°) = 0.2894 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.2894) = 2.383 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 3.008·2.383/0.008 = 895.9 m/s

答案

v = 895.9 m/s

13.弹簧与单摆

答案: v = −0.9809 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(360/2.1) = 13.09 rad/s

ω·t = 13.09·0.2 = 2.619 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.15·13.09·sin(2.619) = −0.9809 m/s

答案

v = −0.9809 m/s

14.弹簧与单摆

答案: t = 0.05121 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/0.5 = 12.57 rad/s

求解时间

0.8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.8) = 0.6435 rad

t = 0.6435/12.57 = 0.05121 s

答案

t = 0.05121 s

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