AP Physics 1 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

2练习题

1.运动学中等

一架飞机起飞需要 220 km/h 的速度，可用跑道长 900 m。从静止开始，它需要多大的恒定加速度 a？

v₀ = 0v = 220 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 11 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 9 kg 的物块沿倾角为 20° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 9 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平桌面上一个 1.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 4 kg 重物相连。物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求系统的加速度 a。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 26 m/s、与水平方向成 30° 的角度朝 42 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 26 m/sθ = 30°x = 42 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 55 m 高的悬崖顶上以高于水平面 55° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 10 m/sθ = 55°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 130 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 130 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1 kg 的球系在长 1.5 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 9 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1 kgr = 1.5 mv_bottom = 9 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一辆 800 kg 的汽车以恒定的 54 km/h 驶上 4° 的斜坡。空气阻力和滚动阻力合计 600 N。求车轮须输出的功率 P，以 kW 表示。

m = 800 kgθ = 4°F_r = 600 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.功和能困难

一个 8 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.3）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 3 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgμ = 0.3d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

一颗 5 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3.5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 21 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 5 gM = 3.5 kgh = 21 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.3 kgv_in = 14 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 0.7 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.73 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 0.7 mT = 2.73 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 3.7 kg 的物体连在 k = 150 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 10 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3.7 kgk = 150 N/mA = 10 cm

v_max = m/s

3溶液

1.运动学

答案: a = 2.075 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

单位

v = 220/3.6 = 61.11 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 61.11²/(2·900) = 2.075 m/s²

答案

a = 2.075 m/s²

2.运动学

答案: h_max = 31.17 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9.81) = 6.167 m

离地面的高度

h_max = 25 + 6.167 = 31.17 m

答案

h_max = 31.17 m

3.牛顿定律

答案: a = 1.512 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答案

a = 1.512 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 6.599 m/s²

系统的加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 2.943)/5.5 = 6.599 m/s²

答案

a = 6.599 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 7.183 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 26·cos 30° = 22.52 m/s

t = x/v_x = 42/22.52 = 1.865 s

此时的高度

y = 13·1.865 − ½·9.81·1.865² = 7.183 m

答案

y = 7.183 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: x = 24.58 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 55° = 5.736 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 55° = 8.192 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 55 + 8.192·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.192 + √(67.1 + 1079))/9.81 = 4.286 s

水平距离

x = v_x·t = 5.736·4.286 = 24.58 m

答案

x = 24.58 m

7.圆周运动

答案: v_max = 19.56 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·130) = 19.56 m/s

答案

v_max = 19.56 m/s (70.42 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 4.95 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 9² − 4·9.81·1.5 = 22.14 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·22.14/1.5 − 1·9.81 = 4.95 N

答案

T_top = 4.95 N

9.功和能

答案: P = 17.21 kW

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。功率等于力乘以速度：P = F·v。

驱动力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 4° = 547.4 N

F = 547.4 + 600 = 1147 N

功率

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1147·15 = 17212 W = 17.21 kW

答案

P = 17.21 kW

10.功和能

答案: v = 1.463 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 29.43·2 = 58.86 J

μ·m₁g·d = 0.3·78.48·2 = 47.09 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 11.77 → v = √(2·11.77/11) = 1.463 m/s

答案

v = 1.463 m/s

11.动量与碰撞

答案: v = 1423 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.21) = 2.03 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 3.5)·2.03/0.005 = 1423 m/s

答案

v = 1423 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 9.9 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(19 + 14) = 9.9 N·s

答案

J = 9.9 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 3.708 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0.7/2.73² = 3.708 m/s²

答案

g = 3.708 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.6367 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(150/3.7) = 6.367 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.1·6.367 = 0.6367 m/s

答案

v_max = 0.6367 m/s

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