运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
AP Physics 1 练习题：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
2练习题
1.运动学中等
一辆以恒定的 23 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。 警车需要多长时间追上？求 t。
vcar = 23 m/sapolice = 6 m/s²v0,police = 0
t = s
2.运动学困难
球 A 从 15 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 20 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 它们在离地面多高处 y 相遇？
H = 15 mv0B = 20 m/sg = 9.81 m/s²
y = m
3.牛顿定律中等
一个 19 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 19 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 7 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 6 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。
m1 = 7 kgm2 = 6 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
一个球 从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。
v0 = 38 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
一个球从 35 m 高的悬崖顶部以 22 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。
v₀ = 22 m/sθ = 35°h = 35 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.圆周运动中等
一辆汽车通过半径为 55 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。
r = 55 mμs = 0.7g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
一个 0.5 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。
m = 0.5 kgr = 0.8 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
一个玩具发射器有一根刚度为 1500 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.5 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 6 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。
m = 0.5 kgk = 1500 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²
h = m
10.功和能困难
在 15° 斜坡底部有一根刚度为 1000 N/m 的弹簧，它顶着一个 0.5 kg 的物块被压缩 12 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.15。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）
m = 0.5 kgk = 1000 N/mx = 12 cmθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²
d = m
11.动量与碰撞中等
一颗 20 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 5 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 4 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。
m = 20 gM = 5 kgh = 4 cmg = 9.81 m/s²
v = m/s
12.动量与碰撞困难
一个 0.15 kg 的小球以 24 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 50 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。
m = 0.15 kgvin = 24 m/svout = 11 m/sΔt = 50 ms
J = N·s
13.弹簧与单摆中等
一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.9 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.59 s。求该行星上的重力加速度 g。
L = 1.9 mT = 2.59 s
g = m/s²
14.弹簧与单摆困难
一个 2.4 kg 的物体连在 k = 80 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 9 cm 后释放。 求它的最大速度 vmax。
m = 2.4 kgk = 80 N/mA = 9 cm
vmax = m/s
3溶液
1.运动学
答案: t = 7.667 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
距离相等
v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·23/6 = 7.667 s
答案
t = 7.667 s
此时警车的速度为 2v = 46 m/s。
2.运动学
答案: y = 12.24 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
相遇时间
向上为正，地面为 y = 0。
15 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 15/20 = 0.75 s
相遇高度
y = 20·0.75 − ½·9.81·0.75² = 12.24 m
答案
y = 12.24 m
3.牛顿定律
答案: a = 2.812 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²
答案
a = 2.812 m/s²
4.牛顿定律
答案: T = 31.69 N
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (58.86 − 0)/13 = 4.528 m/s²
由桌面上的物块求张力
T − μ·m1·g = m1·a
T = 7·4.528 + 0 = 31.69 N
答案
T = 31.69 N
5.抛体运动
答案: H = 24.21 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 38·cos 35° = 31.13 m/s
vy = v0·sin θ = 38·sin 35° = 21.8 m/s
最高点
在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。
H = vy²/(2g) = 21.8²/(2·9.81) = 24.21 m
答案
H = 24.21 m
6.抛体运动
答案: H = 43.12 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
竖直方向的初速度
vy = 22·sin 35° = 12.62 m/s
高出悬崖的上升高度
Δh = vy²/(2g) = 12.62²/(2·9.81) = 8.116 m
离地面的高度
H = 35 + 8.116 = 43.12 m
答案
H = 43.12 m
7.圆周运动
答案: vmax = 19.43 m/s
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
摩擦力提供向心力
m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·55) = 19.43 m/s
答案
vmax = 19.43 m/s (69.96 km/h)
8.圆周运动
答案: T = 31.31 N
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
最低点处的受力
指向圆心（向上）为正。
T − m·g = m·v²/r
T = 0.5·9.81 + 0.5·6.5²/0.8 = 4.905 + 26.41 = 31.31 N
答案
T = 31.31 N
9.功和能
答案: h = 0.5505 m
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
弹簧能量
x = 6 cm = 0.06 m
½kx² = ½·1500·0.06² = 2.7 J
高度
m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N
h = ½kx²/(mg) = 2.7/4.905 = 0.5505 m
答案
h = 0.5505 m
10.功和能
答案: d = 3.636 m
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
弹簧能量
x = 12 cm = 0.12 m
½kx² = ½·1000·0.12² = 7.2 J
沿斜面的能量衡算
m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N
½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)
d = 7.2/(4.905·(0.2588 + 0.15·0.9659)) = 3.636 m
答案
d = 3.636 m
11.动量与碰撞
答案: v = 222.4 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
撞击后的摆动
V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.04) = 0.8859 m/s
碰撞
m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 5)·0.8859/0.02 = 222.4 m/s
答案
v = 222.4 m/s
12.动量与碰撞
答案: J = 5.25 N·s
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
动量的变化量
J = m·Δv = 0.15·(11 + 24) = 5.25 N·s
答案
J = 5.25 N·s
13.弹簧与单摆
答案: g = 11.18 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
求 g
g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/2.59² = 11.18 m/s²
答案
g = 11.18 m/s²
14.弹簧与单摆
答案: vmax = 0.5196 m/s
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
角频率
ω = √(80/2.4) = 5.774 rad/s
最大速度
vmax = A·ω = 0.09·5.774 = 0.5196 m/s
答案
vmax = 0.5196 m/s
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