运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
AP Physics 1 练习题：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
2练习题
1.运动学中等
一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 4.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。
v₀ = 100 km/ha = −4.5 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
从离地面 5 m 高的屋顶边缘以 11 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。
v₀ = 11 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
质量为 6.5 kg 和 5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。 求物体的加速度 a。
m1 = 6.5 kgm2 = 5 kgg = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 2 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.25。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。
m1 = 1 kgm2 = 2 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
一个球从水平地面以 26 m/s 抛出，必须落在 50 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。
v₀ = 26 m/sR = 50 mg = 9.81 m/s²
θ = °
6.抛体运动困难
一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 12 m/s、与水平方向成 40° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。
v₀ = 12 m/sθ = 40°h = 15 mg = 9.81 m/s²
H = m
7.圆周运动中等
一辆汽车通过半径为 115 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.4。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。
r = 115 mμs = 0.4g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
一个 0.9 kg 的小球系在长 1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。
m = 0.9 kgr = 1 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
一个 2 kg 的物块沿倾角 15° 的斜面下滑 19 m，动摩擦因数为 0.15。求克服摩擦做的功 Wf。
m = 2 kgθ = 15°μ = 0.15d = 19 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
10.功和能困难
一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 3.5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。
m = 2.5 kgh = 3.5 mL = 1.5 mμ = 0.3k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
一辆以 6 m/s 行驶的 1600 kg 汽车撞上一辆静止的 900 kg 汽车，两车卡在一起。 原有动能损失了百分之多少 ΔK/K？
m1 = 1600 kgv1 = 6 m/sm2 = 900 kgv2 = 0
ΔK/K = %
12.动量与碰撞困难
一个 0.1 kg 的小球以 25 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。 求墙给小球的冲量大小 J。
m = 0.1 kgvin = 25 m/svout = 5 m/sΔt = 10 ms
J = N·s
13.弹簧与单摆中等
一个单摆的摆长为 3 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。
L = 3 mg = 9.81 m/s²
T = s
14.弹簧与单摆困难
一个 1.1 kg 的物体连在 k = 50 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 3 cm 后释放。 求振动的总能量 E。
m = 1.1 kgk = 50 N/mA = 3 cm
E = J
3溶液
1.运动学
答案: t = 6.173 s
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
单位
v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s
制动时间
0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/4.5 = 6.173 s
答案
t = 6.173 s
2.运动学
答案: hmax = 11.17 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
高出屋顶的高度
0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9.81) = 6.167 m
离地面的高度
hmax = 5 + 6.167 = 11.17 m
答案
hmax = 11.17 m
3.牛顿定律
答案: a = 1.28 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
加速度
净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。
a = (6.5 − 5)·9.81/(6.5 + 5) = 1.28 m/s²
答案
a = 1.28 m/s²
4.牛顿定律
答案: T = 8.175 N
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (19.62 − 2.453)/3 = 5.723 m/s²
由桌面上的物块求张力
T − μ·m1·g = m1·a
T = 1·5.723 + 2.453 = 8.175 N
答案
T = 8.175 N
5.抛体运动
答案: θ = 23.26 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
射程公式
R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·50/26² = 0.7256
相角
2θ = 46.52° → θ = 23.26°
答案
θ = 23.26°
另一个解为 90° − θ = 66.74°。
6.抛体运动
答案: H = 18.03 m
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
竖直方向的初速度
vy = 12·sin 40° = 7.713 m/s
高出悬崖的上升高度
Δh = vy²/(2g) = 7.713²/(2·9.81) = 3.032 m
离地面的高度
H = 15 + 3.032 = 18.03 m
答案
H = 18.03 m
7.圆周运动
答案: vmax = 21.24 m/s
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
摩擦力提供向心力
m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.4·9.81·115) = 21.24 m/s
答案
vmax = 21.24 m/s (76.47 km/h)
8.圆周运动
答案: T = 66.43 N
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
最低点处的受力
指向圆心（向上）为正。
T − m·g = m·v²/r
T = 0.9·9.81 + 0.9·8²/1 = 8.829 + 57.6 = 66.43 N
答案
T = 66.43 N
9.功和能
答案: Wf = 54.01 J
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
摩擦力
N = mg·cos θ = 19.62·0.9659 = 18.95 N
F = μN = 0.15·18.95 = 2.843 N
克服摩擦做的功
Wf = F·d = 2.843·19 = 54.01 J
答案
Wf = 54.01 J
10.功和能
答案: x = 27.35 cm
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 24.53·(3.5 − 0.3·1.5) = 74.8 J
最大压缩量
½kx² = 74.8 → x = √(2·74.8/2000) = 0.2735 m = 27.35 cm
答案
x = 27.35 cm
11.动量与碰撞
答案: ΔK/K = 36 %
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
共同速度
v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 1600·6/2500 = 3.84 m/s
碰撞前后的动能
Kbefore = ½·1600·6² = 28800 J
Kafter = ½·2500·3.84² = 18432 J
损失的比例
ΔK/K = 10368/28800 = 36 %
答案
ΔK/K = 36 %
损失的能量转化为形变、热和声音。
12.动量与碰撞
答案: J = 3 N·s
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
动量的变化量
J = m·Δv = 0.1·(5 + 25) = 3 N·s
答案
J = 3 N·s
13.弹簧与单摆
答案: T = 3.475 s
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
单摆周期
T = 2π·√(3/9.81) = 3.475 s
答案
T = 3.475 s
14.弹簧与单摆
答案: E = 0.0225 J
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
角频率
ω = √(50/1.1) = 6.742 rad/s
能量
E = ½·k·A² = ½·50·0.03² = 0.0225 J
答案
E = 0.0225 J
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