AP Physics 1 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 28 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 3 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 28 m/sa_police = 3 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 8 s，然后匀速行驶 6 s，最后以 3.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 8 st₂ = 6 sa₃ = −3.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 15 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 15 kgθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 11.5 m/s 的速度开始沿 35° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 11.5 m/sθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以与水平方向成 15° 的角度抛出，落在 65 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求抛出速度 v₀。

θ = 15°R = 65 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.抛体运动困难

一个球从地面以 35 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。它在下落途中落在一栋 12 m 高的建筑的平屋顶上。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求从抛出点到落点的水平距离 x。

v₀ = 35 m/sθ = 45°h_roof = 12 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车驶过路面上的一个凸起的顶部，凸起是半径为 45 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。速度超过多少 v_max 时，车轮会在顶部离开路面？

r = 45 mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.7 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.7 kgr = 0.7 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。求它沿斜面滑行 2 m 后的速度 v。

θ = 25°μ = 0.25d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 2.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 800 N/m）。求物块到达弹簧时的速度 v。

m = 5 kgh = 2 mL = 2.5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 1.5 kg 滑块与一个静止的 2 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

在一个十字路口，一辆以 18 m/s 向东行驶的 1400 kg 汽车与一辆以 22 m/s 向北行驶的 1300 kg 汽车相撞。两车卡在一起。求碰撞后瞬间残骸的速度 v′。

m₁ = 1400 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 22 m/s (N)

v′ = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.5 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一颗以 100 m/s 运动的 8 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 0.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 1100 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 8 gv = 100 m/sM = 0.5 kgk = 1100 N/m

A = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 18.67 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/3 = 18.67 s

答案

t = 18.67 s

此时警车的速度为 2v = 56 m/s。

2.运动学

答案: s = 196.6 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·8 = 16 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2·8² = 64 m

s₂ = 16·6 = 96 m

s₃ = 16²/(2·3.5) = 36.57 m

总距离

s = 64 + 96 + 36.57 = 196.6 m

答案

s = 196.6 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.812 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.15·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1359) = 2.812 m/s²

答案

a = 2.812 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 8.66 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 35° + 0.25·cos 35°) = 7.636 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 11.5²/(2·7.636) = 8.66 m

答案

d = 8.66 m

5.抛体运动

答案: v₀ = 35.71 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

从射程公式求 v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·65/sin 30°) = 35.71 m/s

答案

v₀ = 35.71 m/s

6.抛体运动

答案: x = 111.4 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

v_x = 24.75 m/s, v_y = 24.75 m/s

落到屋顶的时间

较大的根：球正在下降。

12 = 24.75·t − 4.905·t²

t = (24.75 + √(24.75² − 2·9.81·12))/9.81 = 4.502 s

水平距离

x = v_x·t = 24.75·4.502 = 111.4 m

答案

x = 111.4 m

7.圆周运动

答案: v_max = 21.01 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

法向力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·45) = 21.01 m/s

答案

v_max = 21.01 m/s

(75.64 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 119.3 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.7·9.81 + 1.7·6.5²/0.7 = 16.68 + 102.6 = 119.3 N

答案

T = 119.3 N

9.功和能

答案: v = 2.774 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·2·(0.4226 − 0.25·0.9063)) = 2.774 m/s

答案

v = 2.774 m/s

10.功和能

答案: v = 4.952 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 49.05·(2 − 0.3·2.5) = 61.31 J

到达弹簧时的速度

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.25) = 4.952 m/s

答案

v = 4.952 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 2.571 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (1.5 − 2)/(1.5 + 2)·3 = −0.4286 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 2)·3 = 2.571 m/s

答案

v′₂ = 2.571 m/s

12.动量与碰撞

答案: v′ = 14.12 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

动量分量

p_x = 1400·18 = 25200 kg·m/s

p_y = 1300·22 = 28600 kg·m/s

残骸的速度

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 38118/2700 = 14.12 m/s

答案

v′ = 14.12 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.5591 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.5/2π)² = 0.5591 m

答案

L = 0.5591 m

14.弹簧与单摆

答案: A = 3.384 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.008·100/0.508 = 1.575 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(1100/0.508) = 46.53 rad/s

振幅

A = V/ω = 1.575/46.53 = 0.03384 m = 3.384 cm

答案

A = 3.384 cm

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