AP Physics 1 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

2练习题

1.运动学中等

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 7.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 90 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

球 A 从 35 m 高处由静止释放。同一时刻，球 B 从正下方的地面以 15 m/s 竖直上抛。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。它们在离地面多高处 y 相遇？

H = 35 mv_0B = 15 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.牛顿定律中等

一个 2 kg 的物块沿倾角为 40° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 2 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 130 N 的水平力拉前面 11 kg 的物块；10 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.15。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 10 kgm₂ = 11 kgF = 130 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 16 m/s、与水平方向成 60° 的角度朝 16 m 外的一面墙踢出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。球经过墙时的高度 y 是多少？

v₀ = 16 m/sθ = 60°x = 16 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.抛体运动困难

一个球从 25 m 高的悬崖顶部以 19 m/s、与水平方向成 35° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求它高出悬崖脚下地面的最大高度 H。

v₀ = 19 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.圆周运动中等

一个系在长 0.3 m 绳上的小球做水平圆周运动，绳与竖直方向保持 25° 的恒定夹角（圆锥摆）。取 g = 9.81 m/s²。求转一圈所需的时间 T。

L = 0.3 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

T = s

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的球系在长 1.2 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 8.5 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 0.3 kgr = 1.2 mv_bottom = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个物块由静止沿倾角 45° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 6 m 后的速度 v。

θ = 45°μ = 0.3d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.功和能困难

在 35° 斜坡底部有一根刚度为 1000 N/m 的弹簧，它顶着一个 0.5 kg 的物块被压缩 5 cm，然后释放。物块与斜坡之间的动摩擦因数为 0.2。物块从释放点沿斜坡向上滑行多远 d 后停下？（忽略弹簧推动的那一小段距离，即在整个距离 d 上都计入摩擦和重力。）

m = 0.5 kgk = 1000 N/mx = 5 cmθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 8 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.2 kg 的小球以 11 m/s 撞到墙上，并以 16 m/s 沿原路弹回。接触时间为 10 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.2 kgv_in = 11 m/sv_out = 16 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一个单摆的摆长为 2.8 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。

L = 2.8 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.弹簧与单摆困难

一个 1.4 kg 的物体连在 k = 140 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 8 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 1.4 kgk = 140 N/mA = 8 cm

v_max = m/s

3溶液

1.运动学

答案: s = 41.67 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·7.5) = 41.67 m

答案

s = 41.67 m

2.运动学

答案: y = 8.295 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

相遇时间

向上为正，地面为 y = 0。

35 − ½g·t² = 15·t − ½g·t² → t = 35/15 = 2.333 s

相遇高度

y = 15·2.333 − ½·9.81·2.333² = 8.295 m

答案

y = 8.295 m

3.牛顿定律

答案: a = 4.427 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答案

a = 4.427 m/s²

4.牛顿定律

答案: a = 4.719 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (130 − 30.9)/21 = 4.719 m/s²

答案

a = 4.719 m/s²

5.抛体运动

答案: y = 8.093 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

到达墙的时间

v_x = 16·cos 60° = 8 m/s

t = x/v_x = 16/8 = 2 s

此时的高度

y = 13.86·2 − ½·9.81·2² = 8.093 m

答案

y = 8.093 m

球到达墙时已经在下落。

6.抛体运动

答案: H = 31.05 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

竖直方向的初速度

v_y = 19·sin 35° = 10.9 m/s

高出悬崖的上升高度

Δh = v_y²/(2g) = 10.9²/(2·9.81) = 6.053 m

离地面的高度

H = 25 + 6.053 = 31.05 m

答案

H = 31.05 m

7.圆周运动

答案: T = 1.046 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

圆的半径

r = L·sin θ = 0.3·sin 25° = 0.1268 m

速率

拉力和重力共同提供向心的力：tan θ = v²/(r·g)。

v = √(r·g·tan θ) = √(0.1268·9.81·tan 25°) = 0.7616 m/s

周期

T = 2π·r/v = 2π·0.1268/0.7616 = 1.046 s

答案

T = 1.046 s

8.圆周运动

答案: T_top = 3.347 N

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 8.5² − 4·9.81·1.2 = 25.16 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.3·25.16/1.2 − 0.3·9.81 = 3.347 N

答案

T_top = 3.347 N

9.功和能

答案: v = 7.633 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

沿斜面的能量衡算

物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·6·(0.7071 − 0.3·0.7071)) = 7.633 m/s

答案

v = 7.633 m/s

10.功和能

答案: d = 0.3456 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·1000·0.05² = 1.25 J

沿斜面的能量衡算

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 1.25/(4.905·(0.5736 + 0.2·0.8192)) = 0.3456 m

答案

d = 0.3456 m

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 6.588 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 5)/(3.5 + 5)·8 = −1.412 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 5)·8 = 6.588 m/s

答案

v′₂ = 6.588 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 5.4 N·s

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(16 + 11) = 5.4 N·s

答案

J = 5.4 N·s

13.弹簧与单摆

答案: T = 3.357 s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

单摆周期

T = 2π·√(2.8/9.81) = 3.357 s

答案

T = 3.357 s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 0.8 m/s

角频率

ω = √(140/1.4) = 10 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.08·10 = 0.8 m/s

答案

v_max = 0.8 m/s

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