运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
AP Physics 1 练习题：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
2练习题
1.运动学中等
一架飞机从静止开始，以 1.75 m/s² 沿跑道匀加速。求它滑行 1700 m 后的速度 v。
v₀ = 0a = 1.75 m/s²s = 1700 m
v = m/s
2.运动学困难
从离地面 35 m 高的屋顶边缘以 12 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求小球离地面的最大高度 hmax。
v₀ = 12 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²
hmax = m
3.牛顿定律中等
质量为 9.5 kg 和 6.5 kg 的两个物体用轻绳相连，分别悬挂在一个轻质无摩擦滑轮的两侧。系统由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。 求物体的加速度 a。
m1 = 9.5 kgm2 = 6.5 kgg = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 1 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。
m1 = 1 kgm2 = 5.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
一个球 从平地上以高于水平面 40° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。
v0 = 38 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²
x = m
6.抛体运动困难
一个球 从 15 m 高的悬崖顶上以高于水平面 30° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。
v0 = 10 m/sθ = 30°h = 15 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
一辆汽车通过半径为 115 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.8。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 vmax。
r = 115 mμs = 0.8g = 9.81 m/s²
vmax = m/s
8.圆周运动困难
一个 1.7 kg 的小球系在长 1.3 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 8.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。
m = 1.7 kgr = 1.3 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
一个 1 kg 的物块沿倾角 40° 的斜面下滑 12 m，动摩擦因数为 0.3。求克服摩擦做的功 Wf。
m = 1 kgθ = 40°μ = 0.3d = 12 mg = 9.81 m/s²
Wf = J
10.功和能困难
一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.3），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。
m = 0.5 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
在无摩擦的导轨上，一个以 3 m/s 运动的 4 kg 滑块与一个静止的 1 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。
m1 = 4 kgm2 = 1 kgv1 = 3 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.动量与碰撞困难
一个 0.5 kg 的小球以 16 m/s 撞到墙上，并以 5 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。
m = 0.5 kgvin = 16 m/svout = 5 m/sΔt = 20 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
一个单摆的摆长为 1.6 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。
L = 1.6 mg = 9.81 m/s²
T = s
14.弹簧与单摆困难
一个连在 k = 270 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 20 cm 的振幅振动。 求它距平衡位置 13 cm 时的动能 K。
k = 270 N/mA = 20 cmx = 13 cm
K = J
3溶液
1.运动学
答案: v = 77.14 m/s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
经过该距离后的速度
v = √(2·a·s) = √(2·1.75·1700) = 77.14 m/s
答案
v = 77.14 m/s
(277.7 km/h)
2.运动学
答案: hmax = 42.34 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
高出屋顶的高度
0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9.81) = 7.339 m
离地面的高度
hmax = 35 + 7.339 = 42.34 m
答案
hmax = 42.34 m
3.牛顿定律
答案: a = 1.839 m/s²
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
加速度
净驱动力是两个重量之差；它带动的是总质量。
a = (9.5 − 6.5)·9.81/(9.5 + 6.5) = 1.839 m/s²
答案
a = 1.839 m/s²
4.牛顿定律
答案: a = 8.301 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (53.96 − 0)/6.5 = 8.301 m/s²
答案
a = 8.301 m/s²
5.抛体运动
答案: x = 145 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 38·cos 40° = 29.11 m/s
vy = v0·sin θ = 38·sin 40° = 24.43 m/s
飞行时间
起点与落点等高：t = 2vy/g。
t = 2·24.43/9.81 = 4.98 s
水平距离
x = vx·t = 29.11·4.98 = 145 m
答案
x = 145 m
6.抛体运动
答案: x = 20.19 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 10·cos 30° = 8.66 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 30° = 5 m/s
飞行时间
解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。
0 = 15 + 5·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (5 + √(25 + 294.3))/9.81 = 2.331 s
水平距离
x = vx·t = 8.66·2.331 = 20.19 m
答案
x = 20.19 m
7.圆周运动
答案: vmax = 30.04 m/s
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
摩擦力提供向心力
m·v²/r = μ·m·g
v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·115) = 30.04 m/s
答案
vmax = 30.04 m/s (108.2 km/h)
8.圆周运动
答案: T = 111.2 N
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
最低点处的受力
指向圆心（向上）为正。
T − m·g = m·v²/r
T = 1.7·9.81 + 1.7·8.5²/1.3 = 16.68 + 94.48 = 111.2 N
答案
T = 111.2 N
9.功和能
答案: Wf = 27.05 J
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
摩擦力
N = mg·cos θ = 9.81·0.766 = 7.515 N
F = μN = 0.3·7.515 = 2.254 N
克服摩擦做的功
Wf = F·d = 2.254·12 = 27.05 J
答案
Wf = 27.05 J
10.功和能
答案: x = 9.654 cm
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 4.905·(2 − 0.3·3.5) = 4.66 J
最大压缩量
½kx² = 4.66 → x = √(2·4.66/1000) = 0.09654 m = 9.654 cm
答案
x = 9.654 cm
11.动量与碰撞
答案: v′1 = 1.8 m/s
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
与静止物体的弹性碰撞
联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。
v′1 = (4 − 1)/(4 + 1)·3 = 1.8 m/s
v′2 = 2·4/(4 + 1)·3 = 4.8 m/s
答案
v′1 = 1.8 m/s
12.动量与碰撞
答案: Favg = 525 N
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
动量的变化量
J = m·Δv = 0.5·(5 + 16) = 10.5 N·s
平均作用力
Favg = J/Δt = 10.5/0.02 = 525 N
答案
Favg = 525 N
13.弹簧与单摆
答案: T = 2.537 s
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
单摆周期
T = 2π·√(1.6/9.81) = 2.537 s
答案
T = 2.537 s
14.弹簧与单摆
答案: K = 3.119 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
总能量
E = ½·k·A² = ½·270·0.2² = 5.4 J
x 处的弹簧能量
U = ½·k·x² = ½·270·0.13² = 2.282 J
动能
K = 5.4 − 2.282 = 3.119 J
答案
K = 3.119 J
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