AP Physics 1 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

2练习题

1.运动学中等

一辆以恒定的 30 m/s 超速行驶的汽车经过一辆静止的警车。此时警车启动并以 6 m/s² 匀加速。警车需要多长时间追上？求 t。

v_car = 30 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.牛顿定律中等

一个 30 kg 的雪橇被一根与水平方向成 40° 向上的绳子以 90 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 30 kgF = 90 Nθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 135 N 的水平力拉前面 7 kg 的物块；8 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求连接绳中的拉力 T。

m₁ = 8 kgm₂ = 7 kgF = 135 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 34 m/s 抛出，必须落在 45 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 34 m/sR = 45 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 20 m 高的悬崖顶上以高于水平面 50° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 30 m/sθ = 50°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一位道路工程师希望汽车以 100 km/h 通过半径为 240 m 的弯道时不依赖摩擦力。取 g = 9.81 m/s²。求弯道的倾角 θ。

r = 240 mv = 100 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.圆周运动困难

一个小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。取 g = 9.81 m/s²。在最高点处，速度至少为多少 v_min 才能使绳子恰好保持绷紧？

r = 0.8 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 1000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.15 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 5 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.15 kgk = 1000 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一辆 10 kg 的小车从光滑轨道上 8 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 2.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 10 kgh = 8 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一个以 6 m/s 水平运动的 14 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。10 kg 的碎片以 64 m/s 继续向前运动。求 4 kg 碎片的速度 v′₂（以原运动方向为正）。

M = 14 kgu = 6 m/sm₁ = 10 kgv′₁ = 64 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1200 kg 的汽车撞上一辆停放的 800 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 20 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.75。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1200 kgm₂ = 800 kgd = 20 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.3 m 的单摆在小幅摆动时周期为 2.41 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.3 mT = 2.41 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

一个 1.6 kg 的物体连在 k = 270 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 16 cm 后释放。求它的最大加速度 a_max。

m = 1.6 kgk = 270 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

3溶液

1.运动学

答案: t = 10 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

距离相等

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/6 = 10 s

答案

t = 10 s

此时警车的速度为 2v = 60 m/s。

2.运动学

答案: t = 5.078 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−30 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 30 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (19 + √(19² + 2·9.81·30))/9.81 = 5.078 s

答案

t = 5.078 s

3.牛顿定律

答案: a = 0.7218 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 90·sin 40° = 236.4 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 68.94 − 47.29

a = 21.65/30 = 0.7218 m/s²

答案

a = 0.7218 m/s²

4.牛顿定律

答案: T = 72 N

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (135 − 36.79)/15 = 6.547 m/s²

单独分析后面的物块

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(6.547 + 2.453) = 72 N

答案

T = 72 N

两个物块的 μ 相同时，摩擦力被消去：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.抛体运动

答案: θ = 11.23 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·45/34² = 0.3819

相角

2θ = 22.45° → θ = 11.23°

答案

θ = 11.23°

另一个解为 90° − θ = 78.77°。

6.抛体运动

答案: x = 104.8 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 50° = 19.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 50° = 22.98 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 20 + 22.98·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22.98 + √(528.1 + 392.4))/9.81 = 5.435 s

水平距离

x = v_x·t = 19.28·5.435 = 104.8 m

答案

x = 104.8 m

7.圆周运动

答案: θ = 18.15 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

单位

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

弯道倾角

tan θ = v²/(r·g) = 27.78²/(240·9.81) = 0.3277

θ = 18.15°

答案

θ = 18.15°

8.圆周运动

答案: v_min = 2.801 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最高点张力为零

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.8) = 2.801 m/s

答案

v_min = 2.801 m/s

9.功和能

答案: h = 0.8495 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·1000·0.05² = 1.25 J

高度

m·g = 0.15·9.81 = 1.472 N

h = ½kx²/(mg) = 1.25/1.472 = 0.8495 m

答案

h = 0.8495 m

10.功和能

答案: N = 137.3 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 5) = 58.86 m²/s²

顶点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

N = mv²/R − mg = 10·58.86/2.5 − 98.1 = 137.3 N

答案

N = 137.3 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = −139 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞前的动量

p = M·u = 14·6 = 84 kg·m/s

碰撞后的动量

84 = 10·64 + 4·v′₂

v′₂ = (84 − 640)/4 = −139 m/s

答案

v′₂ = −139 m/s

负号表示第二块碎片向后飞。

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 28.59 m/s

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·20) = 17.16 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2000·17.16/1200 = 28.59 m/s

答案

v₁ = 28.59 m/s

(102.9 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: g = 8.836 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.3/2.41² = 8.836 m/s²

答案

g = 8.836 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: a_max = 27 m/s²

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(270/1.6) = 12.99 rad/s

最大加速度

a_max = A·ω² = 0.16·12.99² = 27 m/s²

答案

a_max = 27 m/s²

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