AP Physics 1 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

2练习题

1.运动学中等

一辆以 45 km/h 行驶的汽车以 6.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 45 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 30 m 高的屋顶边缘以 19 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个箱子以 9.5 m/s 的初速度在水平地面上滑动，滑行 11 m 后停止。取 g = 9.81 m/s²。求动摩擦因数 μ。

v₀ = 9.5 m/sd = 11 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.牛顿定律困难

水平地面上的两个物块由一根水平轻绳相连。一个 130 N 的水平力拉前面 3 kg 的物块；12 kg 的物块被拖在后面。两个物块的动摩擦因数均为 0.1。取 g = 9.81 m/s²。求物块的加速度 a。

m₁ = 12 kgm₂ = 3 kgF = 130 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 32 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 60 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。

v₀ = 33 m/sθ = 45°h = 60 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 120 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.5。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 120 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.7 kg 的球系在长 1 m 的轻绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点它的速度为 12 m/s。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求最高点时绳中的拉力 T_top。

m = 1.7 kgr = 1 mv_bottom = 12 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.功和能中等

一个 10 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 1.5 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 5 kg 的物块放在粗糙的水平桌面上（μ = 0.25）。一根轻绳从它出发，跨过桌边的光滑滑轮，连接一个悬挂的 5 kg 物块。系统由静止释放。求悬挂物块下降 2.5 m 后两物块的速度 v。

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.25d = 2.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 10 m/s 运动的 5 kg 滑块与一个静止的 1.5 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一颗 8 g 的子弹水平射入一个用长 1.3 m 的轻绳悬挂的 1 kg 木块，并留在其中。绳子摆起的最大角度为与竖直方向成 35°。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 8 gM = 1 kgL = 1.3 mθ = 35°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.弹簧与单摆中等

要使单摆的周期为 1.4 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。

T = 1.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.弹簧与单摆困难

一个 1.3 kg 的物体连在 k = 50 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 6 cm 后释放。求振动的总能量 E。

m = 1.3 kgk = 50 N/mA = 6 cm

E = J

3溶液

1.运动学

答案: s = 12.02 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·6.5) = 12.02 m

答案

s = 12.02 m

2.运动学

答案: h_max = 48.4 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9.81) = 18.4 m

离地面的高度

h_max = 30 + 18.4 = 48.4 m

答案

h_max = 48.4 m

3.牛顿定律

答案: μ = 0.4182

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

a = v₀²/(2d) = 9.5²/(2·11) = 4.102 m/s²

摩擦因数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 4.102/9.81 = 0.4182

答案

μ = 0.4182

4.牛顿定律

答案: a = 7.686 m/s²

整个系统

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (130 − 14.71)/15 = 7.686 m/s²

答案

a = 7.686 m/s²

5.抛体运动

答案: x = 67.1 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30.07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10.94 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·10.94/9.81 = 2.231 s

水平距离

x = v_x·t = 30.07·2.231 = 67.1 m

答案

x = 67.1 m

6.抛体运动

答案: t = 6.608 s

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 45° = 23.33 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 45° = 23.33 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 60 + 23.33·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23.33 + √(544.5 + 1177))/9.81 = 6.608 s

答案

t = 6.608 s

7.圆周运动

答案: v_max = 24.26 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·120) = 24.26 m/s

答案

v_max = 24.26 m/s (87.34 km/h)

8.圆周运动

答案: T_top = 161.4 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的速度

在高度 2r 上，动能转化为势能。

v_top² = 12² − 4·9.81·1 = 104.8 m²/s²

顶点的受力

拉力和重力都向下，指向圆心。

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1.7·104.8/1 − 1.7·9.81 = 161.4 N

答案

T_top = 161.4 N

9.功和能

答案: T = 155.6 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 45°) = 8.62 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·8.62/1.5 = 155.6 N

答案

T = 155.6 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 155.6 N。

10.功和能

答案: v = 4.289 m/s

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

释放和损失的能量

m₂g·d = 49.05·2.5 = 122.6 J

μ·m₁g·d = 0.25·49.05·2.5 = 30.66 J

两个物块的动能

½(m₁ + m₂)v² = 91.97 → v = √(2·91.97/10) = 4.289 m/s

答案

v = 4.289 m/s

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 15.38 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (5 − 1.5)/(5 + 1.5)·10 = 5.385 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1.5)·10 = 15.38 m/s

答案

v′₂ = 15.38 m/s

12.动量与碰撞

答案: v = 270.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木块的上升高度

h = L·(1 − cos θ) = 1.3·(1 − cos 35°) = 0.2351 m

撞击后的速度

V = √(2·9.81·0.2351) = 2.148 m/s

碰撞

v = (m + M)·V/m = 1.008·2.148/0.008 = 270.6 m/s

答案

v = 270.6 m/s

13.弹簧与单摆

答案: L = 0.487 m

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

求摆长

L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.4/2π)² = 0.487 m

答案

L = 0.487 m

14.弹簧与单摆

答案: E = 0.09 J

角频率

ω = √(50/1.3) = 6.202 rad/s

能量

E = ½·k·A² = ½·50·0.06² = 0.09 J

答案

E = 0.09 J

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