AP Physics 1 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

2练习题

1.运动学中等

一辆以 100 km/h 行驶的汽车以 5.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。求制动距离 s。

v₀ = 100 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.运动学困难

从离地面 25 m 高的屋顶边缘以 6 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求小球离地面的最大高度 h_max。

v₀ = 6 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.牛顿定律中等

一个 6 kg 的物块沿倾角为 25° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.2。取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。

m = 6 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.牛顿定律困难

一个物块被推了一下，以 7 m/s 的速度开始沿 25° 的斜面向上滑动。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。它沿斜面滑行多远 d 后停止？

v₀ = 7 m/sθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.抛体运动中等

一个球从平地上以高于水平面 35° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 26 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

x = m

6.抛体运动困难

一个球从 30 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 18 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一辆汽车通过半径为 105 m 的水平弯道。轮胎与路面之间的静摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求汽车不打滑地通过弯道的最大速度 v_max。

r = 105 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.圆周运动困难

一个 1.2 kg 的小球系在长 0.7 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6.5 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.2 kgr = 0.7 mv = 6.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个 2 kg 的球挂在长 0.8 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 45°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 2 kgL = 0.8 mθ = 45°g = 9.81 m/s²

T = N

10.功和能困难

一个 0.5 kg 的物块从光滑坡道上 5 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 1 m 的粗糙水平段（μ = 0.2），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 1000 N/m）。求弹簧的最大压缩量 x。

m = 0.5 kgh = 5 mL = 1 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.动量与碰撞中等

在无摩擦的导轨上，一个以 12 m/s 运动的 3.5 kg 滑块与一个静止的 4 kg 滑块发生完全弹性的正碰。求碰撞后第二个滑块的速度 v′₂。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.动量与碰撞困难

一辆 1800 kg 的汽车撞上一辆停放的 1100 kg 汽车。两车残骸卡在一起，滑行 8.5 m 后停止。轮胎与路面之间的动摩擦因数为 0.7。取 g = 9.81 m/s²。求碰撞前瞬间第一辆汽车的速度 v₁。

m₁ = 1800 kgm₂ = 1100 kgd = 8.5 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 250 N/m 弹簧上的 2.9 kg 物体在无摩擦表面上以 10 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 5 cm 时的速度 v。

m = 2.9 kgk = 250 N/mA = 10 cmx = 5 cm

v = m/s

14.弹簧与单摆困难

一个 3 kg 的物体连在 k = 110 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 17 cm 后释放。求它的最大速度 v_max。

m = 3 kgk = 110 N/mA = 17 cm

v_max = m/s

3溶液

1.运动学

答案: s = 70.15 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制动距离

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·5.5) = 70.15 m

答案

s = 70.15 m

2.运动学

答案: h_max = 26.83 m

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

高出屋顶的高度

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9.81) = 1.835 m

离地面的高度

h_max = 25 + 1.835 = 26.83 m

答案

h_max = 26.83 m

3.牛顿定律

答案: a = 2.368 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

沿斜面方向的力

沿斜面向下为正。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

答案

a = 2.368 m/s²

4.牛顿定律

答案: d = 3.596 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

减速度

两个力都沿斜面向下；质量约去。

a = 9.81·(sin 25° + 0.3·cos 25°) = 6.813 m/s²

距离

d = v₀²/(2a) = 7²/(2·6.813) = 3.596 m

答案

d = 3.596 m

5.抛体运动

答案: x = 64.75 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 35° = 21.3 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 35° = 14.91 m/s

飞行时间

起点与落点等高：t = 2v_y/g。

t = 2·14.91/9.81 = 3.04 s

水平距离

x = v_x·t = 21.3·3.04 = 64.75 m

答案

x = 64.75 m

6.抛体运动

答案: x = 53.77 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 20° = 16.91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 20° = 6.156 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 30 + 6.156·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6.156 + √(37.9 + 588.6))/9.81 = 3.179 s

水平距离

x = v_x·t = 16.91·3.179 = 53.77 m

答案

x = 53.77 m

7.圆周运动

答案: v_max = 17.58 m/s

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

摩擦力提供向心力

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·105) = 17.58 m/s

答案

v_max = 17.58 m/s (63.28 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 84.2 N

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 1.2·9.81 + 1.2·6.5²/0.7 = 11.77 + 72.43 = 84.2 N

答案

T = 84.2 N

9.功和能

答案: T = 31.11 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.8·(1 − cos 45°) = 4.597 m²/s²

最低点的受力

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

T = mg + mv²/L = 19.62 + 2·4.597/0.8 = 31.11 N

答案

T = 31.11 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 31.11 N。

10.功和能

答案: x = 21.7 cm

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

通过粗糙段后剩余的能量

坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。

mgh − μmgL = 4.905·(5 − 0.2·1) = 23.54 J

最大压缩量

½kx² = 23.54 → x = √(2·23.54/1000) = 0.217 m = 21.7 cm

答案

x = 21.7 cm

11.动量与碰撞

答案: v′₂ = 11.2 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′₁ = (3.5 − 4)/(3.5 + 4)·12 = −0.8 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4)·12 = 11.2 m/s

答案

v′₂ = 11.2 m/s

12.动量与碰撞

答案: v₁ = 17.41 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

碰撞后的速度

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·8.5) = 10.8 m/s

碰撞中的动量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·10.8/1800 = 17.41 m/s

答案

v₁ = 17.41 m/s

(62.67 km/h)

13.弹簧与单摆

答案: v = 0.8041 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(250/2.9) = 9.285 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 9.285·√(0.1² − 0.05²) = 0.8041 m/s

答案

v = 0.8041 m/s

14.弹簧与单摆

答案: v_max = 1.029 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(110/3) = 6.055 rad/s

最大速度

v_max = A·ω = 0.17·6.055 = 1.029 m/s

答案

v_max = 1.029 m/s

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