AP Physics 1 练习题：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度: v = v₀ + a·t
位移: s = v₀·t + ½·a·t²
不含时间: v² = v₀² + 2·a·s
单位: 1 m/s = 3.6 km/h

方法

列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
选取包含三个已知量和该未知量的公式。
选定一个正方向，相反方向的量取负号。
求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律: ΣF = m·a
重力: W = m·g
动摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 沿斜面：m·g·sin θ，垂直斜面：m·g·cos θ

方法

画出物体所受全部力的受力图。
沿运动方向选定正方向。
把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最大高度: H = h + v_y²/(2g)
射程（水平地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

方法

把初速度分解为分量：v_x = v₀·cos θ，v_y = v₀·sin θ。
水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
由竖直方向的运动求飞行时间。
把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度: a = v²/r = ω²·r
向心力: F = m·v²/r
角速度: ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦: v_max = √(μ·g·r)

功和能

动能: E_k = ½mv²
势能: E_p = mgh
能量衡算: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力做功: W = μ·N·d
功率: P = W/t

动量与碰撞

动量: p = m·v
守恒: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
冲量: J = F·Δt = m·Δv

方法

选定正方向，并给每个速度标上符号。
写出碰撞前的总动量：Σm·v。
完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

2练习题

1.运动学中等

一辆以 80 km/h 行驶的汽车以 3.5 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 80 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

t = s

2.运动学困难

一辆有轨电车从静止开始以 2 m/s² 加速 10 s，然后匀速行驶 26 s，最后以 3.5 m/s² 制动直到停止。求两站之间的总距离 s。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 10 st₂ = 26 sa₃ = −3.5 m/s²

s = m

3.牛顿定律中等

一个 45 kg 的箱子被一个平行于斜面的力沿与水平方向成 15° 的斜面匀速向上推。动摩擦因数为 0.3。取 g = 9.81 m/s²。求推力 F。

m = 45 kgθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

F = N

4.牛顿定律困难

倾角为 20° 的斜面上有一个 9 kg 的物块，它通过一根跨过斜面顶端无摩擦滑轮的轻绳与一个悬挂的 9.5 kg 物体相连。悬挂物向下运动。物块与斜面之间的动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求绳中的张力 T。

m₁ = 9 kgm₂ = 9.5 kgθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

T = N

5.抛体运动中等

一个球从水平地面以 22 m/s 抛出，必须落在 25 m 远处。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。求两个可能的抛射角中较小的一个 θ。

v₀ = 22 m/sR = 25 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.抛体运动困难

一个球从 5 m 高的悬崖顶上以高于水平面 20° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。

v₀ = 21 m/sθ = 20°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.圆周运动中等

一个半径为 170 m 的弯道倾斜 15°。汽车以多大速度 v 通过时完全不需要摩擦力？取 g = 9.81 m/s²。

r = 170 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.圆周运动困难

一个 0.3 kg 的小球系在长 0.5 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 6 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 0.3 kgr = 0.5 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.功和能中等

一个玩具发射器有一根刚度为 2000 N/m 的竖直弹簧。把一个 0.1 kg 的球放在上面，将弹簧压缩 8 cm，然后释放。忽略空气阻力和弹簧质量，求球上升的高度 h，从弹簧压缩时球的位置量起。

m = 0.1 kgk = 2000 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.功和能困难

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 6 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 1.5 m 的竖直圆环。求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 6 mR = 1.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.动量与碰撞中等

一颗 15 g 的子弹水平射入一个用轻绳悬挂的 3 kg 木块，并留在其中。木块摆起，直到比初始位置高 25 cm。取 g = 9.81 m/s²。求子弹撞击前的速度 v。

m = 15 gM = 3 kgh = 25 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.动量与碰撞困难

一个 0.3 kg 的小球以 19 m/s 撞到墙上，并以 4 m/s 沿原路弹回。接触时间为 40 ms。求墙给小球的冲量大小 J。

m = 0.3 kgv_in = 19 m/sv_out = 4 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.弹簧与单摆中等

一名宇航员在另一颗行星上发现，一个长 1.3 m 的单摆在小幅摆动时周期为 1.44 s。求该行星上的重力加速度 g。

L = 1.3 mT = 1.44 s

g = m/s²

14.弹簧与单摆困难

把一个 2.1 kg 的物体挂在一根 k = 250 N/m、处于原长的竖直弹簧下端，然后由静止释放。取 g = 9.81 m/s²。求弹簧的最大伸长量 x_max，以 cm 表示。

m = 2.1 kgk = 250 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

3溶液

1.运动学

答案: t = 6.349 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/3.5 = 6.349 s

答案

t = 6.349 s

2.运动学

答案: s = 677.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·10 = 20 m/s

各阶段的距离

s₁ = ½·2·10² = 100 m

s₂ = 20·26 = 520 m

s₃ = 20²/(2·3.5) = 57.14 m

总距离

s = 100 + 520 + 57.14 = 677.1 m

答案

s = 677.1 m

3.牛顿定律

答案: F = 242.2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

沿斜面方向的力

匀速：各力平衡。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

推力

F = 114.3 + 127.9 = 242.2 N

答案

F = 242.2 N

4.牛顿定律

答案: T = 71.5 N

沿绳子方向的力

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 30.2 N

μ·m₁·g·cos θ = 20.74 N

系统的加速度

a = (93.2 − 30.2 − 20.74)/18.5 = 2.284 m/s²

由悬挂物求拉力

m₂·g − T = m₂·a → T = 9.5·(9.81 − 2.284) = 71.5 N

答案

T = 71.5 N

5.抛体运动

答案: θ = 15.22 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

射程公式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·25/22² = 0.5067

相角

2θ = 30.45° → θ = 15.22°

答案

θ = 15.22°

另一个解为 90° − θ = 74.78°。

6.抛体运动

答案: x = 39.06 m

抛体运动：无空气阻力时，x = v_xt，y = h + v_yt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 20° = 19.73 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 20° = 7.182 m/s

飞行时间

解 y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0，取正根。

0 = 5 + 7.182·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7.182 + √(51.59 + 98.1))/9.81 = 1.979 s

水平距离

x = v_x·t = 19.73·1.979 = 39.06 m

答案

x = 39.06 m

7.圆周运动

答案: v = 21.14 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

力的平衡

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

速率

v = √(r·g·tan θ) = √(170·9.81·tan 15°) = 21.14 m/s

答案

v = 21.14 m/s

(76.1 km/h)

8.圆周运动

答案: T = 24.54 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r

T = 0.3·9.81 + 0.3·6²/0.5 = 2.943 + 21.6 = 24.54 N

答案

T = 24.54 N

9.功和能

答案: h = 6.524 m

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。

弹簧能量

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·2000·0.08² = 6.4 J

高度

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 6.4/0.981 = 6.524 m

答案

h = 6.524 m

10.功和能

答案: N = 147.2 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 3) = 58.86 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·58.86/1.5 − 49.05 = 147.2 N

答案

N = 147.2 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v = 445.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

撞击后的摆动

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.25) = 2.215 m/s

碰撞

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 3)·2.215/0.015 = 445.2 m/s

答案

v = 445.2 m/s

12.动量与碰撞

答案: J = 6.9 N·s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.3·(4 + 19) = 6.9 N·s

答案

J = 6.9 N·s

13.弹簧与单摆

答案: g = 24.75 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

求 g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.3/1.44² = 24.75 m/s²

答案

g = 24.75 m/s²

14.弹簧与单摆

答案: x_max = 16.48 cm

平衡位置和振幅

x₀ = m·g/k = 2.1·9.81/250 = 0.0824 m = A

最低点

x_max = 2A = 0.1648 m = 16.48 cm

答案

x_max = 16.48 cm

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