运动学
- 速度
- v = v0 + a·t
- 位移
- s = v0·t + ½·a·t²
- 不含时间
- v² = v0² + 2·a·s
- 单位
- 1 m/s = 3.6 km/h
方法
- 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
- 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
- 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
- 求解并检查答案在物理上是否合理。
AP Physics 1 练习题：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
牛顿定律
- 第二定律
- ΣF = m·a
- 重力
- W = m·g
- 动摩擦
- Ff = μ·N
- 斜面上
- 沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ
方法
- 画出物体所受全部力的受力图。
- 沿运动方向选定正方向。
- 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
- 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。
抛体运动
- 分量
- vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
- 位置
- x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
- 最大高度
- H = h + vy²/(2g)
- 射程（水平地面）
- R = v0²·sin 2θ/g
方法
- 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
- 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
- 由竖直方向的运动求飞行时间。
- 把该时间代入水平运动求射程。
圆周运动
- 向心加速度
- a = v²/r = ω²·r
- 向心力
- F = m·v²/r
- 角速度
- ω = v/r = 2π/T
- 水平弯道，摩擦
- vmax = √(μ·g·r)
功和能
- 动能
- Ek = ½mv²
- 势能
- Ep = mgh
- 能量衡算
- Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
- 摩擦力做功
- W = μ·N·d
- 功率
- P = W/t
动量与碰撞
- 动量
- p = m·v
- 守恒
- Σm·v (before) = Σm·v (after)
- 完全非弹性
- v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
- 冲量
- J = F·Δt = m·Δv
方法
- 选定正方向，并给每个速度标上符号。
- 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
- 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
- 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。
弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
2练习题
1.运动学中等
一辆以 60 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 求制动距离 s。
v₀ = 60 km/ha = −6 m/s²v = 0
s = m
2.运动学困难
一辆有轨电车从静止开始以 1.5 m/s² 加速 12 s，然后匀速行驶 14 s，最后以 2.5 m/s² 制动直到停止。 求两站之间的总距离 s。
a1 = 1.5 m/s²t1 = 12 st2 = 14 sa3 = −2.5 m/s²
s = m
3.牛顿定律中等
一个 17 kg 的物块沿倾角为 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。求物块沿斜面的加速度 a。
m = 17 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 3 kg 重物相连。 桌面光滑。 取 g = 9.81 m/s²。 求绳中的张力 T。
m1 = 6.5 kgm2 = 3 kgμ = 0g = 9.81 m/s²
T = N
5.抛体运动中等
一个球 从平地上以高于水平面 25° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前的飞行时间 t。
v0 = 36 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²
t = s
6.抛体运动困难
一个球 从 35 m 高的悬崖顶上以高于水平面 45° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球落地前飞过的水平距离 x。
v0 = 19 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9.81 m/s²
x = m
7.圆周运动中等
一辆 1500 kg 的汽车以 8 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 40 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。
m = 1500 kgv = 8 m/sr = 40 mg = 9.81 m/s²
N = N
8.圆周运动困难
一个 0.7 kg 的小球系在长 0.8 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 4 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。
m = 0.7 kgr = 0.8 mv = 4 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
一个物块由静止沿倾角 30° 的斜面下滑。动摩擦因数为 0.3。求它沿斜面滑行 5 m 后的速度 v。
θ = 30°μ = 0.3d = 5 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
10.功和能困难
一个 2.5 kg 的物块从光滑坡道上 2 m 高处由静止释放。到达底部后，它通过一段长 3.5 m 的粗糙水平段（μ = 0.1），然后在光滑表面上撞上一根弹簧（k = 2500 N/m）。 求弹簧的最大压缩量 x。
m = 2.5 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²
x = cm
11.动量与碰撞中等
一个以 5 m/s 水平运动的 20 kg 抛射体爆炸成沿同一直线运动的两块碎片。3 kg 的碎片以 61 m/s 继续向前运动。求 17 kg 碎片的速度 v′2（以原运动方向为正）。
M = 20 kgu = 5 m/sm1 = 3 kgv′1 = 61 m/sm2 = 17 kg
v′2 = m/s
12.动量与碰撞困难
一个 0.25 kg 的小球以 14 m/s 撞到墙上，并以 11 m/s 沿原路弹回。接触时间为 5 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。
m = 0.25 kgvin = 14 m/svout = 11 m/sΔt = 5 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
要使单摆的周期为 1.1 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。
T = 1.1 sg = 9.81 m/s²
L = m
14.弹簧与单摆困难
一个连在 k = 150 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 5 cm 的振幅振动。 求它距平衡位置 4 cm 时的动能 K。
k = 150 N/mA = 5 cmx = 4 cm
K = J
3溶液
1.运动学
答案: s = 23.15 m
匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。
单位
v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s
制动距离
0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·6) = 23.15 m
答案
s = 23.15 m
2.运动学
答案: s = 424.8 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
最高速度
v = a1·t1 = 1.5·12 = 18 m/s
各阶段的距离
s1 = ½·1.5·12² = 108 m
s2 = 18·14 = 252 m
s3 = 18²/(2·2.5) = 64.8 m
总距离
s = 108 + 252 + 64.8 = 424.8 m
答案
s = 424.8 m
3.牛顿定律
答案: a = 2.356 m/s²
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
沿斜面方向的力
沿斜面向下为正。
m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ
加速度
a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²
答案
a = 2.356 m/s²
4.牛顿定律
答案: T = 20.14 N
牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。
系统的加速度
a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (29.43 − 0)/9.5 = 3.098 m/s²
由桌面上的物块求张力
T − μ·m1·g = m1·a
T = 6.5·3.098 + 0 = 20.14 N
答案
T = 20.14 N
5.抛体运动
答案: t = 3.102 s
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 36·cos 25° = 32.63 m/s
vy = v0·sin θ = 36·sin 25° = 15.21 m/s
飞行时间
起点与落点等高：t = 2vy/g。
t = 2·15.21/9.81 = 3.102 s
答案
t = 3.102 s
6.抛体运动
答案: x = 58.73 m
抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。
分解初速度
水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。
vx = v0·cos θ = 19·cos 45° = 13.44 m/s
vy = v0·sin θ = 19·sin 45° = 13.44 m/s
飞行时间
解 y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0，取正根。
0 = 35 + 13.44·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (13.44 + √(180.5 + 686.7))/9.81 = 4.371 s
水平距离
x = vx·t = 13.44·4.371 = 58.73 m
答案
x = 58.73 m
7.圆周运动
答案: N = 12315 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
顶点的受力
指向圆心（向下）为正。
m·g − N = m·v²/r
N = 1500·9.81 − 1500·8²/40 = 14715 − 2400 = 12315 N
答案
N = 12315 N
汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。
8.圆周运动
答案: T = 20.87 N
匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。
最低点处的受力
指向圆心（向上）为正。
T − m·g = m·v²/r
T = 0.7·9.81 + 0.7·4²/0.8 = 6.867 + 14 = 20.87 N
答案
T = 20.87 N
9.功和能
答案: v = 4.854 m/s
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
沿斜面的能量衡算
物块下降高度 d·sin θ，摩擦消耗 μmg·cos θ·d。质量约去。
½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)
v = √(2·9.81·5·(0.5 − 0.3·0.866)) = 4.854 m/s
答案
v = 4.854 m/s
10.功和能
答案: x = 17.99 cm
动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。
通过粗糙段后剩余的能量
坡道光滑，只有粗糙段消耗能量。
mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.1·3.5) = 40.47 J
最大压缩量
½kx² = 40.47 → x = √(2·40.47/2500) = 0.1799 m = 17.99 cm
答案
x = 17.99 cm
11.动量与碰撞
答案: v′2 = −4.882 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
碰撞前的动量
p = M·u = 20·5 = 100 kg·m/s
碰撞后的动量
100 = 3·61 + 17·v′2
v′2 = (100 − 183)/17 = −4.882 m/s
答案
v′2 = −4.882 m/s
负号表示第二块碎片向后飞。
12.动量与碰撞
答案: Favg = 1250 N
动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。
动量的变化量
J = m·Δv = 0.25·(11 + 14) = 6.25 N·s
平均作用力
Favg = J/Δt = 6.25/0.005 = 1250 N
答案
Favg = 1250 N
13.弹簧与单摆
答案: L = 0.3007 m
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
求摆长
L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.1/2π)² = 0.3007 m
答案
L = 0.3007 m
14.弹簧与单摆
答案: K = 0.0675 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
总能量
E = ½·k·A² = ½·150·0.05² = 0.1875 J
x 处的弹簧能量
U = ½·k·x² = ½·150·0.04² = 0.12 J
动能
K = 0.1875 − 0.12 = 0.0675 J
答案
K = 0.0675 J
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