物理（一）：力学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 16 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

运动学

速度
v = v0 + a·t
位移
s = v0·t + ½·a·t²
不含时间
v² = v0² + 2·a·s
单位
1 m/s = 3.6 km/h

方法

  1. 列出已知量：v₀、v、a、t 和 s，并带上单位。
  2. 选取包含三个已知量和该未知量的公式。
  3. 选定一个正方向，相反方向的量取负号。
  4. 求解并检查答案在物理上是否合理。

牛顿定律

第二定律
ΣF = m·a
重力
W = m·g
动摩擦
Ff = μ·N
斜面上
沿斜面：m·g·sin θ， 垂直斜面：m·g·cos θ

方法

  1. 画出物体所受全部力的受力图。
  2. 沿运动方向选定正方向。
  3. 把力分解为沿运动方向和垂直于运动方向的分量（斜面上：沿斜面 m·g·sin θ，垂直压向斜面 m·g·cos θ）。
  4. 沿运动方向应用 ΣF = m·a；摩擦力为 μ·N，方向与运动相反。

抛体运动

分量
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最大高度
H = h + vy²/(2g)
射程（水平地面）
R = v0²·sin 2θ/g

方法

  1. 把初速度分解为分量：vx = v₀·cos θ，vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向为匀速运动；竖直方向的加速度为 −g。
  3. 由竖直方向的运动求飞行时间。
  4. 把该时间代入水平运动求射程。

圆周运动

向心加速度
a = v²/r = ω²·r
向心力
F = m·v²/r
角速度
ω = v/r = 2π/T
水平弯道，摩擦
vmax = √(μ·g·r)

功和能

动能
Ek = ½mv²
势能
Ep = mgh
能量衡算
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力做功
W = μ·N·d
功率
P = W/t

动量与碰撞

动量
p = m·v
守恒
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弹性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
冲量
J = F·Δt = m·Δv

方法

  1. 选定正方向，并给每个速度标上符号。
  2. 写出碰撞前的总动量：Σm·v。
  3. 完全非弹性碰撞后物体一起运动；弹性碰撞中动能也守恒。
  4. 令碰撞前动量等于碰撞后动量并求解。

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.运动学中等
t (s)v (m/s)t = ?25

一辆以 90 km/h 行驶的汽车以 6 m/s² 的恒定减速度制动，直到停下。 制动需要多长时间？求 t。

v₀ = 90 km/ha = −6 m/s²v = 0
t = s
2.运动学困难
v₀ = 14 m/s10 m

从离地面 10 m 高的屋顶边缘以 14 m/s 的速度竖直向上抛出一个小球。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 抛出后多长时间小球落地？求 t。

v₀ = 14 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²
t = s
3.牛顿定律中等
20 kg30°F = 70 Nμ = 0.25

一个 20 kg 的雪橇被一根与水平方向成 30° 向上的绳子以 70 N 的力拉着在平坦的雪地上移动。动摩擦因数为 0.25。取 g = 9.81 m/s²。求雪橇的加速度 a。

m = 20 kgF = 70 Nθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²
a = m/s²
4.牛顿定律困难
m1​ = 6.5 kg5.5 kgμ = 0.3

水平桌面上一个 6.5 kg 的物块通过跨过光滑滑轮的轻绳与一个悬挂的 5.5 kg 重物相连。 物块与桌面之间的动摩擦因数为 0.3。 取 g = 9.81 m/s²。 求系统的加速度 a。

m1 = 6.5 kgm2 = 5.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²
a = m/s²
5.抛体运动中等
v0​ = 16 m/s65°射程H = ?

一个球 从平地上以高于水平面 65° 的角度抛出。忽略空气阻力。求球达到的最大高度 H。

v0 = 16 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²
H = m
6.抛体运动困难
h = 15 mv0​ = 31 m/s45°v = ?

一个球从 15 m 高的悬崖顶部以 31 m/s、与水平方向成 45° 的角度抛出。忽略空气阻力，取 g = 9.81 m/s²。 求它落地时的速度 v。

v₀ = 31 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
7.圆周运动中等
r = 90 m20 m/s

一辆 1200 kg 的汽车以 20 m/s 驶过路面上的一个凸起的顶部。凸起的顶部是半径为 90 m 的圆弧。取 g = 9.81 m/s²。求顶部路面对汽车的法向力 N。

m = 1200 kgv = 20 m/sr = 90 mg = 9.81 m/s²
N = N
8.圆周运动困难
r = 1.1 mv = 3 m/s

一个 1.6 kg 的小球系在长 1.1 m 的绳上，在竖直平面内做圆周运动。在最低点时它的速度为 3 m/s。取 g = 9.81 m/s²。求最低点处绳中的张力 T。

m = 1.6 kgr = 1.1 mv = 3 m/sg = 9.81 m/s²
T = N
9.功和能中等
60°L = 1.5 m10 kg

一个 10 kg 的球挂在长 1.5 m 的轻绳上。把它拉向一侧，使绳与竖直方向成 60°，然后从静止释放。求球经过最低点时绳中的拉力 T。

m = 10 kgL = 1.5 mθ = 60°g = 9.81 m/s²
T = N
10.功和能困难
h = 17.5 mR = 5 mN = ?

一辆 5 kg 的小车从光滑轨道上 17.5 m 高处由静止释放，轨道通入一个半径为 5 m 的竖直圆环。 求小车在圆环顶点时轨道对它的法向力 N。

m = 5 kgh = 17.5 mR = 5 mg = 9.81 m/s²
N = N
11.动量与碰撞中等
0.5 kg9 m/s3 kg

在无摩擦的导轨上，一个以 9 m/s 运动的 0.5 kg 滑块与一个静止的 3 kg 滑块发生完全弹性的正碰。 求碰撞后第一个滑块的速度 v′1（以其原运动方向为正）。

m1 = 0.5 kgm2 = 3 kgv1 = 9 m/sv2 = 0
v′1 = m/s
12.动量与碰撞困难
13 m/s19 m/s

一个 0.2 kg 的小球以 13 m/s 撞到墙上，并以 19 m/s 沿原路弹回。接触时间为 20 ms。 求墙对小球的平均作用力 Favg。

m = 0.2 kgvin = 13 m/svout = 19 m/sΔt = 20 ms
Favg = N
13.弹簧与单摆中等
t (s)x (cm)0.25 s

一个连在 k = 120 N/m 弹簧上的 1.1 kg 物体被沿正方向拉开 3 cm，在 t = 0 时由静止释放。 求 t = 0.25 s 时它的速度 v（带符号）。

m = 1.1 kgk = 120 N/mA = 3 cmt = 0.25 s
v = m/s
14.弹簧与单摆困难
mk = 280 N/mA = 5 cmx = 4 cm

一个连在 k = 280 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 5 cm 的振幅振动。 求它距平衡位置 4 cm 时的动能 K。

k = 280 N/mA = 5 cmx = 4 cm
K = J
15.波、声与光学中等
75 dB?1 m2 m

一个小声源向各个方向均匀发声。距它 1 m 处的声级为 75 dB。忽略吸收和反射，求 2 m 处的声级 β2。

β1 = 75 dBr1 = 1 mr2 = 2 m
β2 = dB
16.波、声与光学困难
λ = 600 nma = 0.08 mmL = 2.5 m

波长为 600 nm 的光通过一条宽 0.08 mm 的单缝。求 2.5 m 外的屏上中央亮极大的宽度 w（即两侧第一暗条纹之间）。

λ = 600 nma = 0.08 mmL = 2.5 m
w = mm

3溶液

1.运动学

答案: t = 4.167 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

单位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制动时间

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/6 = 4.167 s

答案

t = 4.167 s
2.运动学

答案: t = 3.446 s

匀变速直线运动：v = v₀ + a·t，s = v₀·t + ½·a·t²，v² = v₀² + 2·a·s。选择包含三个已知量和一个待求量的那个方程，并按同一个正方向统一符号。

运动方程

向上为正，地面在出发点下方 h₀ 处。

−10 = 14·t − ½·9.81·t²
4.905·t² − 14·t − 10 = 0

解一元二次方程

只有正根有物理意义。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·10))/9.81 = 3.446 s

答案

t = 3.446 s
3.牛顿定律

答案: a = 1.016 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

法向力

N = m·g − F·sin θ = 196.2 − 70·sin 30° = 161.2 N

水平方向的力

m·a = F·cos θ − μ·N = 60.62 − 40.3
a = 20.32/20 = 1.016 m/s²

答案

a = 1.016 m/s²
4.牛顿定律

答案: a = 2.902 m/s²

牛顿第二定律：物体所受的合力等于其质量乘以加速度，ΣF = m·a。画出受力图，沿运动方向选定正方向，把该方向上的所有力相加：外加的力、与运动方向相反的摩擦力 μ·N，以及重力的分力。

系统的加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (53.96 − 19.13)/12 = 2.902 m/s²

答案

a = 2.902 m/s²
5.抛体运动

答案: H = 10.72 m

抛体运动：无空气阻力时，x = vxt，y = h + vyt − ½gt²。两个方向相互独立，只共享同一时间。

分解初速度

水平速度保持不变；竖直运动具有向下的恒定加速度 g = 9.81 m/s²。

vx = v0·cos θ = 16·cos 65° = 6.762 m/s
vy = v0·sin θ = 16·sin 65° = 14.5 m/s

最高点

在最高点竖直速度为零：vy² = 2gH。

H = vy²/(2g) = 14.5²/(2·9.81) = 10.72 m

答案

H = 10.72 m
6.抛体运动

答案: v = 35.43 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

分解初速度

vx = 31·cos 45° = 21.92 m/s
vy0 = 31·sin 45° = 21.92 m/s

落地时的竖直速度

用能量，或在竖直方向用 v² = v₀² + 2as。

vy = √(21.92² + 2·9.81·15) = 27.84 m/s

落水速度

v = √(21.92² + 27.84²) = 35.43 m/s

答案

v = 35.43 m/s

用能量校核：v² = v₀² + 2gh。

7.圆周运动

答案: N = 6439 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

顶点的受力

指向圆心（向下）为正。

m·g − N = m·v²/r
N = 1200·9.81 − 1200·20²/90 = 11772 − 5333 = 6439 N

答案

N = 6439 N

汽车感觉变轻了：路面向上的支持力小于其重量。

8.圆周运动

答案: T = 28.79 N

匀速圆周运动：物体以速率 v 在半径为 r 的圆周上运动时，具有指向圆心的加速度 a = v²/r，因此需要指向圆心的合力 F = m·v²/r。这个力必须由真实的力提供：摩擦力、张力、重力或支持力。

最低点处的受力

指向圆心（向上）为正。

T − m·g = m·v²/r
T = 1.6·9.81 + 1.6·3²/1.1 = 15.7 + 13.09 = 28.79 N

答案

T = 28.79 N
9.功和能

答案: T = 196.2 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

最低点的速度

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 60°) = 14.71 m²/s²

最低点的受力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N
T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·14.71/1.5 = 196.2 N

答案

T = 196.2 N

校核：T = mg(3 − 2cos θ) = 196.2 N。

10.功和能

答案: N = 98.1 N

动能定理：动能的变化等于所有力做的功。把重力和弹簧写成势能（mgh 和 ½kx²）后得到能量衡算：初始能量 = 终了能量 + 摩擦损失的能量 (μN·d)。 在圆周路径上，指向圆心的合力必须等于 mv²/r。

顶点的速度

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(17.5 − 10) = 147.2 m²/s²

顶点的受力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N
N = mv²/R − mg = 5·147.2/5 − 49.05 = 98.1 N

答案

N = 98.1 N

当 h = 2.5R 时小车恰好能通过圆环；此时顶点处 N = 0。

11.动量与碰撞

答案: v′1 = −6.429 m/s

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

与静止物体的弹性碰撞

联立动量守恒和能量守恒即可得到这两个结果。

v′1 = (0.5 − 3)/(0.5 + 3)·9 = −6.429 m/s
v′2 = 2·0.5/(0.5 + 3)·9 = 2.571 m/s

答案

v′1 = −6.429 m/s

负号表示第一个滑块被弹回。

12.动量与碰撞

答案: Favg = 320 N

动量守恒：碰撞过程中若没有外力作用，碰撞前的总动量 Σm·v 等于碰撞后的总动量。速度有方向，所以要选定正方向，反方向的速度取负号。弹性碰撞中动能也守恒；完全非弹性碰撞中物体粘在一起运动。

动量的变化量

J = m·Δv = 0.2·(19 + 13) = 6.4 N·s

平均作用力

Favg = J/Δt = 6.4/0.02 = 320 N

答案

Favg = 320 N
13.弹簧与单摆

答案: v = −0.1585 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(120/1.1) = 10.44 rad/s
ω·t = 10.44·0.25 = 2.611 rad

速度

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.03·10.44·sin(2.611) = −0.1585 m/s

答案

v = −0.1585 m/s
14.弹簧与单摆

答案: K = 0.126 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

总能量

E = ½·k·A² = ½·280·0.05² = 0.35 J

x 处的弹簧能量

U = ½·k·x² = ½·280·0.04² = 0.224 J

动能

K = 0.35 − 0.224 = 0.126 J

答案

K = 0.126 J
15.波、声与光学

答案: β2 = 68.98 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

强度比

I₂/I₁ = (1/2)² = 0.25

新的声级

β₂ = 75 + 10·log₁₀(0.25) = 68.98 dB

答案

β2 = 68.98 dB

距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。

16.波、声与光学

答案: w = 37.5 mm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

第一暗条纹

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·2.5/(0.08 × 10⁻³) = 18.75 mm

中央极大的宽度

w = 2y₁ = 37.5 mm

答案

w = 37.5 mm

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