描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
AP Statistics 练习题：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 14 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
卡方检验
- 检验统计量
- χ² = Σ(O − E)²/E
- 拟合优度
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- 独立性
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- 临界值（α = 0.05）
- df 1: 3.841, 2: 5.991, 3: 7.815, 4: 9.488
- 决策
- 若 χ² > χ²crit，则拒绝 H0
2练习题
1.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：47, 22, 11, 45, 46, 32, 51。
n = 7
s =
2.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 8。求成绩 72 的 z 分数 z。
μ = 60σ = 8x = 72
z =
3.概率中等
从 14 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 14k = 2
N =
4.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.3 赢得 €5，以概率 0.05 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€5: p = 0.3€20: p = 0.05
E(G) = €
5.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8473。求 z，保留两位小数。
A = 0.8473
z =
6.正态分布困难
袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 250σ = 5P = 99%
x = g
7.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
8.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 17？
n = 5ŷ = 17
x =
9.置信区间中等
基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 7.4。 用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
90%n₁ = 36E₁ = 7.495%
E₂ =
10.置信区间困难
总体标准差为 35。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 35E = 495%
n =
11.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 501.7，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 501.7s = 4n = 25
t =
12.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 93.3。总体标准差为 12。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 93.3σ = 12n = 2595%
L =
13.卡方检验中等
列联表给出了观测频数。计算行变量与列变量独立性检验的卡方统计量 χ²。不使用连续性校正。
N = 1602 × 2
χ² =
14.卡方检验困难
一个卡方拟合优度检验检验 6 个类别的频数是否服从泊松分布，其均值由同一组数据估计。 该检验的自由度 df 是多少？
k = 6
df =
3溶液
1.描述统计
答案: s = 15.07
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 254/7 = 36.29
离差平方
Σ(x − x̄)² = 10.71² + (−14.29)² + (−25.29)² + 8.714² + 9.714² + (−4.286)² + 14.71² = 1363
标准差
s = √(1363/6) = 15.07
答案
s = 15.07
2.描述统计
答案: z = 1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (72 − 60)/8 = 1.5
答案
z = 1.5
3.概率
答案: N = 91
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(14, 2) = (14·13)/(2·1) = 91
答案
N = 91
4.概率
答案: E(G) = 1.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 4 (p = 0.3), 19 (p = 0.05), −1 (p = 0.65)
期望值
E(G) = 4·0.3 + 19·0.05 − 1·0.65 = 1.5 €
答案
E(G) = 1.5 €
正值表示平均而言你会赢钱。
5.正态分布
答案: z = 1.43
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.8473)/2 = 0.9236
反向查 z 表
在表中找到 0.9236，读出 z。
z = 1.43
答案
z = 1.43
6.正态分布
答案: x = 261.6 g
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 250 + 2.326·5 = 261.63 g
答案
x = 261.63 g
7.线性回归与相关
答案: r² = 0.8949
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 109/6 = 18.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 120.8
决定系数
r² = −43.5²/(17.5·120.8) = 0.8949
答案
r² = 0.8949
y 的变异中约有 89.49% 可由该直线解释。
8.线性回归与相关
答案: x = 3.435
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 90/5 = 18
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23
回归直线
b = −23/10 = −2.3
a = 18 − (−2.3)·3 = 24.9
ŷ = 24.9 − 2.3·x
解出 x
x = (17 − 24.9)/(−2.3) = 3.435
答案
x = 3.435
9.置信区间
答案: E₂ = 8.817
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(36/36) = 1.191
新的误差范围
E₂ = 7.4·1.191 = 8.817
答案
E₂ = 8.817
10.置信区间
答案: n = 295
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.96·35/4)² = 294.1
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 295
答案
n = 295
11.假设检验与置信区间
答案: t = 2.125
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8
检验统计量
t = (501.7 − 500)/0.8 = 2.125
答案
t = 2.125
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
12.假设检验与置信区间
答案: L = 88.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·12/√25 = 4.704
区间端点
L = 93.3 − 4.704 = 88.6
答案
L = 88.6
13.卡方检验
答案: χ² = 5.104
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
期望频数
新药: 80·64/160 = 32, 80·96/160 = 48
安慰剂: 80·64/160 = 32, 80·96/160 = 48
卡方统计量
χ² = (39 − 32)²/32 + (41 − 48)²/48 + (25 − 32)²/32 + (55 − 48)²/48
χ² = 5.104
答案
χ² = 5.104
df = 1。在 α = 0.05 时临界值为 3.841，所以 H₀（独立）被拒绝。
14.卡方检验
答案: df = 4
卡方检验：用 χ² = Σ(O − E)²/E 比较观测频数 O 与 H₀ 下的期望频数 E。拟合优度检验：每个类别 E = n·p，df = k − 1（每由数据估计一个参数再减一）。r × c 列联表的独立性检验：E = 行合计 × 列合计 / 总计，df = (r − 1)(c − 1)。当 χ² 超过所选 α 下的临界值时拒绝 H₀。
自由度
df = 6 − 1 − 1 = 4
答案
df = 4
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