极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (1 + 1/x)3x。给出小数值。
f(x) = (1 + 1/x)3xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (e3x − 1 − 3x)/x²。
f(x) = (e3x − 1 − 3x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x3·e0.5x。求 f′(0.5)。
f(x) = x3·e0.5xx = 0.5
f′(0.5) =
4.导数困难
设 f(x) = x3 − 4.5x2 + 6x − 6。求局部极大值点的 x 坐标 x。
f(x) = x3 − 4.5x2 + 6x − 6
x =
5.最优化中等
一块 450 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €30；其他三边每米造价 €10。 求最低总造价 C。
A = 450 m²€30/m€10/m
C = €
6.最优化困难
一家小企业以固定的市场价格每件 €70 销售产品。生产 q 件的成本为 C(q) = 800 + 8q + 0.25q² 欧元。 求最大利润 P。
p = €70C = 800 + 8q + 0.25q²
P = €
7.积分中等
计算 I = ∫₁1.5 x·ln x dx。
∫₁1.5 x ln x dx
I =
8.积分困难
将直线 y = 2x 与抛物线 y = x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。
y = 2xy = x²
V =
3溶液
1.极限
答案: L = 20.09
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
取对数
ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 + 1/x)
求值
当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。
ln L = 3·1 = 3
还原对数
L = e3 = 20.09
答案
L = 20.09
2.极限
答案: L = 4.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(3·e3x − 3)/(2x) → 0/0
第二次应用
9·e3x/2
代入 x = 0
L = 9·1/2 = 4.5
答案
L = 4.5
3.导数
答案: f′(0.5) = 1.043
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则
f′(x) = u′v + uv′ = e0.5x·(3x2 + 0.5·x3)
代入
f′(0.5) = 1.284·(0.75 + 0.0625) = 1.043
答案
f′(0.5) = 1.043
4.导数
答案: x = 1
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
导数
f′(x) = 3x2 − 9x + 6 = 3·(x2 − 3x + 2)
解 f′(x) = 0
x = 1 或 x = 2
判断哪个是哪个
f″(x) = 6x − 9：在极大值处为负，在极小值处为正。
f″(1) = −3, f″(2) = 3
x = 1
答案
x = 1
5.最优化
答案: C = 1200 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
造价关于 x 的函数
C(x) = 40x + 9000/x
令导数为零
C″(x) = 18000/x³ > 0，所以这是最小值。
x = √(9000/40) = 15 m
y = 450/15 = 30 m
最低造价
C = 40·15 + 9000/15 = €1200
答案
C = €1200
6.最优化
答案: P = 3044 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = 70q − (800 + 8q + 0.25q²) = −0.25q2 + 62q − 800
令导数为零
P″(q) = −0.5 < 0，所以这是最大值。
62 − 0.5q = 0 → q = 124
最大利润
P = 62·124 − 0.25·124² − 800 = €3044
答案
P = €3044
7.积分
答案: I = 0.1436
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
选取 u 和 dv
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
原函数
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
极限
(1.125·ln 1.5 − 0.5625) − (0 − 0.25) = 0.1436
答案
I = 0.1436
8.积分
答案: V = 13.4
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
交点
2x = 1x² → x = 0, x = 2
垫圈法
V = π∫₀2 ((2x)² − (1x²)²) dx
积分
V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4.267 = 13.4
答案
V = 13.4
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