极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (1 − 2/x)2x。给出小数值。
f(x) = (1 − 2/x)2xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (1 − cos 5x)/(3x²)，x 以弧度计。
f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = (2x − 1)4。求 f′(2)。
f(x) = (2x − 1)4x = 2
f′(2) =
4.导数困难
f(x) = x2 − 2x + 2 在 x = 1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = x2 − 2x + 2x = 1
b =
5.最优化中等
一块 400 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €25；其他三边每米造价 €8。 求使造价最低的临街边长度 x。
A = 400 m²€25/m€8/m
x = m
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 140 − 1q 欧元/件，成本为 C(q) = 200 + 70q 欧元。 求使利润最大的价格 p。
p = 140 − 1qC = 200 + 70q
p = €
7.积分中等
计算 I = ∫₁3 x·ln x dx。
∫₁3 x ln x dx
I =
8.积分困难
将直线 y = 3x 与抛物线 y = 3x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。
y = 3xy = 3x²
V =
3溶液
1.极限
答案: L = 0.01832
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
取对数
ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 − 2/x)
求值
当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。
ln L = 2·(−2) = −4
还原对数
L = e−4 = 0.01832
答案
L = 0.01832
2.极限
答案: L = 4.167
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
5·sin 5x/(6x) → 0/0
第二次应用
25·cos 5x/6
代入 x = 0
L = 25/6 = 4.167
答案
L = 4.167
3.导数
答案: f′(2) = 216
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
链式法则
f′(x) = 4·(2x − 1)3·2
代入
f′(2) = 4·33·2 = 216
答案
f′(2) = 216
4.导数
答案: b = 1
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(1) = 1
f′(x) = 2x − 2 → f′(1) = 0
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − 0·1 = 1
答案
b = 1
5.最优化
答案: x = 13.93 m
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
造价关于 x 的函数
C(x) = 33x + 6400/x
令导数为零
C″(x) = 12800/x³ > 0，所以这是最小值。
x = √(6400/33) = 13.93 m
y = 400/13.93 = 28.72 m
最低造价
C = 33·13.93 + 6400/13.93 = €919.1
答案
x = 13.93 m
6.最优化
答案: p = 105 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (140 − 1q)·q − (200 + 70q) = −q2 + 70q − 200
令导数为零
P″(q) = −2 < 0，所以这是最大值。
q = 70/2 = 35
价格和利润
p = 140 − 1·35 = €105
P = 70·35 − 1·35² − 200 = €1025
答案
p = €105
7.积分
答案: I = 2.944
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
选取 u 和 dv
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
原函数
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
极限
(4.5·ln 3 − 2.25) − (0 − 0.25) = 2.944
答案
I = 2.944
8.积分
答案: V = 3.77
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
交点
3x = 3x² → x = 0, x = 1
垫圈法
V = π∫₀1 ((3x)² − (3x²)²) dx
积分
V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1.2 = 3.77
答案
V = 3.77
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