极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (1 − 1/x)2x。给出小数值。
f(x) = (1 − 1/x)2xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (e1.5x − 1 − 1.5x)/x²。
f(x) = (e1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x·sin(x)，x 以弧度计。求 f′(0.5)。
f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad
f′(0.5) =
4.导数困难
f(x) = 2x2 − x + 5 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 2x2 − x + 5x = 3
b =
5.最优化中等
一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 250 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。
V = 250 cm³
r = cm
6.最优化困难
一家剧院每场以每张 €12 售出 1300 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 50 张（每降低 €1，就多 50 张）。 求每场的最大收入 R。
1300 × €1250 / €1
R = €
7.积分中等
计算 I = ∫01 e2x dx。
f(x) = e2x[0, 1]
I =
8.积分困难
将直线 y = 3x 与抛物线 y = 2x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。
y = 3xy = 2x²
V =
3溶液
1.极限
答案: L = 0.1353
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
取对数
ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)
求值
当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。
ln L = 2·(−1) = −2
还原对数
L = e−2 = 0.1353
答案
L = 0.1353
2.极限
答案: L = 1.125
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(1.5·e1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0
第二次应用
2.25·e1.5x/2
代入 x = 0
L = 2.25·1/2 = 1.125
答案
L = 1.125
3.导数
答案: f′(0.5) = 0.9182
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则与链式法则
f′(x) = sin(x) + x·cos(x)
代入
f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182
答案
f′(0.5) = 0.9182
4.导数
答案: b = −13
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(3) = 20
f′(x) = 4x − 1 → f′(3) = 11
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 20 − 11·3 = −13
答案
b = −13
5.最优化
答案: r = 3.414 cm
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 r 的函数
h = 250/(πr²)
A(r) = 2πr² + 500/r
令导数为零
A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0，所以这是最小值。
4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3.414 cm
高度和面积
h = 250/(π·3.414²) = 2r = 6.828 cm
A = 2π·3.414² + 500/3.414 = 219.7 cm²
答案
r = 3.414 cm
最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。
6.最优化
答案: R = 18050 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
收入关于价格的函数
n(p) = 1900 − 50p
R(p) = 1900p − 50p²
令导数为零
R″(p) = −100 < 0，所以这是最大值。
p = 1900/100 = €19
最大收入
n = 1900 − 50·19 = 950
R = 19·950 = €18050
答案
R = €18050
7.积分
答案: I = 3.195
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
原函数
F(x) = e2x/2
代入上下限
I = (e2 − 1)/2 = (7.389 − 1)/2 = 3.195
答案
I = 3.195
8.积分
答案: V = 12.72
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
交点
3x = 2x² → x = 0, x = 1.5
垫圈法
V = π∫₀1.5 ((3x)² − (2x²)²) dx
积分
V = π(9·1.5³/3 − 4·1.5⁵/5) = π·4.05 = 12.72
答案
V = 12.72
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