极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (√(x2 − 4x) − x)。
f(x) = √(x2 − 4x) − xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 ln(1 + 4x)/sin(x)，x 以弧度计。
f(x) = ln(1 + 4x)/sin(x)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = ln(2x2 + 1)。求 f′(2)。
f(x) = ln(2x2 + 1)x = 2
f′(2) =
4.导数困难
f(x) = 3x2 − x 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 3x2 − xx = 2
b =
5.最优化中等
一块 600 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €20；其他三边每米造价 €10。 求使造价最低的临街边长度 x。
A = 600 m²€20/m€10/m
x = m
6.最优化困难
一家剧院每场以每张 €12 售出 1440 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 40 张（每降低 €1，就多 40 张）。 求每场的最大收入 R。
1440 × €1240 / €1
R = €
7.积分中等
计算 I = ∫₁3 x·ln x dx。
∫₁3 x ln x dx
I =
8.积分困难
求由 y = 0.5x2 和 y = 4x 围成区域的面积 A。
y = 0.5x2y = 4x
A =
3溶液
1.极限
答案: L = −2
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
乘以共轭式
f(x) = −4x/(√(x2 − 4x) + x)
除以 x
f(x) = −4/(√(1 + (−4)/x) + 1)
令 x → ∞
L = −4/(1 + 1) = −2
答案
L = −2
2.极限
答案: L = 4
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
洛必达法则
L = limx→0 [4/(1 + 4x)]/[cos x]
代入 x = 0
L = 4/1 = 4
答案
L = 4
3.导数
答案: f′(2) = 0.8889
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
对数的链式法则
f′(x) = 4x/(2x2 + 1)
代入
f′(2) = 8/9 = 0.8889
答案
f′(2) = 0.8889
4.导数
答案: b = −12
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(2) = 10
f′(x) = 6x − 1 → f′(2) = 11
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − 11·2 = −12
答案
b = −12
5.最优化
答案: x = 20 m
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
造价关于 x 的函数
C(x) = 30x + 12000/x
令导数为零
C″(x) = 24000/x³ > 0，所以这是最小值。
x = √(12000/30) = 20 m
y = 600/20 = 30 m
最低造价
C = 30·20 + 12000/20 = €1200
答案
x = 20 m
6.最优化
答案: R = 23040 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
收入关于价格的函数
n(p) = 1920 − 40p
R(p) = 1920p − 40p²
令导数为零
R″(p) = −80 < 0，所以这是最大值。
p = 1920/80 = €24
最大收入
n = 1920 − 40·24 = 960
R = 24·960 = €23040
答案
R = €23040
7.积分
答案: I = 2.944
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
选取 u 和 dv
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
原函数
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
极限
(4.5·ln 3 − 2.25) − (0 − 0.25) = 2.944
答案
I = 2.944
8.积分
答案: A = 42.67
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
0.5x2 = 4x → x = 0, x = 8
对上减下积分
A = [2x2 − 0.1667x3]08 = 42.67
答案
A = 42.67
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