极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (−6x2 + 3x + 5)/(x2 + 5x + 7)。
f(x) = (−6x2 + 3x + 5)/(x2 + 5x + 7)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (e−2x − 1 + 2x)/x²。
f(x) = (e−2x − 1 + 2x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = ln(3x2 + 1)。求 f′(3)。
f(x) = ln(3x2 + 1)x = 3
f′(3) =
4.导数困难
f(x) = 2x2 − 3x + 2 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。
f(x) = 2x2 − 3x + 2x = 3
b =
5.最优化中等
一个封闭圆柱形罐（有顶和底）须容纳 750 cm³。所用金属与总表面积成正比。 求用料最少时的半径 r。
V = 750 cm³
r = cm
6.最优化困难
一家剧院每场以每张 €12 售出 720 张票。市场调查显示，票价每提高 €1，售出的票就少 20 张（每降低 €1，就多 20 张）。 求每场的最大收入 R。
720 × €1220 / €1
R = €
7.积分中等
将 y = 2x 之下、从 x = 0 到 x = 3 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（圆锥）的体积 V。
y = 2x0 ≤ x ≤ 3
V =
8.积分困难
计算 I = ∫₀1 x²·eˣ dx。
∫₀1 x²eˣ dx
I =
3溶液
1.极限
答案: L = −6
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(−6 + 3/x + 5/x2)/(1 + 5/x + 7/x2)
令 x → ∞
L = −6/1 = −6
答案
L = −6
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 2
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(−2·e−2x + 2)/(2x) → 0/0
第二次应用
4·e−2x/2
代入 x = 0
L = 4·1/2 = 2
答案
L = 2
3.导数
答案: f′(3) = 0.6429
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
对数的链式法则
f′(x) = 6x/(3x2 + 1)
代入
f′(3) = 18/28 = 0.6429
答案
f′(3) = 0.6429
4.导数
答案: b = −16
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
切点和斜率
f(3) = 11
f′(x) = 4x − 3 → f′(3) = 9
x = 0 处的切线值
b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 11 − 9·3 = −16
答案
b = −16
5.最优化
答案: r = 4.924 cm
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
面积关于 r 的函数
h = 750/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1500/r
令导数为零
A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0，所以这是最小值。
4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4.924 cm
高度和面积
h = 750/(π·4.924²) = 2r = 9.847 cm
A = 2π·4.924² + 1500/4.924 = 457 cm²
答案
r = 4.924 cm
最省料的封闭罐高度等于直径：h = 2r。
6.最优化
答案: R = 11520 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
收入关于价格的函数
n(p) = 960 − 20p
R(p) = 960p − 20p²
令导数为零
R″(p) = −40 < 0，所以这是最大值。
p = 960/40 = €24
最大收入
n = 960 − 20·24 = 480
R = 24·480 = €11520
答案
R = €11520
7.积分
答案: V = 113.1
旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。
圆盘法
V = π∫₀3 4x² dx
积分
V = π·4·3³/3 = 113.1
答案
V = 113.1
检验：半径 6、高 3 的圆锥体积为 (1/3)πr²h = 113.1。
8.积分
答案: I = 0.7183
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
第一轮
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx
第二轮
∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)
极限
2.718·(1) − 1·2 = 0.7183
答案
I = 0.7183
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