极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
微积分（一）：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
最优化
- 方法
- 把 Q(x) 写成单变量函数，解 Q′(x) = 0，再检验 Q″ 或端点
- 最大值
- Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
- 最小值
- Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
- 封闭圆柱
- V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
- 利润
- P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (4x2 + x − 3)/(4x2 + 4x + 5)。
f(x) = (4x2 + x − 3)/(4x2 + 4x + 5)x → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(2x)，x 以弧度计。
f(x) = ln(1 + 3x)/sin(2x)x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x2·ex。求 f′(1)。
f(x) = x2·exx = 1
f′(1) =
4.导数困难
设 f(x) = x3 − 12x2 + 36x − 2。求局部极大值点的 x 坐标 x。
f(x) = x3 − 12x2 + 36x − 2
x =
5.最优化中等
一块 300 m² 的矩形地块四周都要围上围栏。临街一侧长 x，每米造价 €30；其他三边每米造价 €8。 求最低总造价 C。
A = 300 m²€30/m€8/m
C = €
6.最优化困难
一家公司每周销售 q 件产品。能售出的价格为 p = 120 − 0.5q 欧元/件，成本为 C(q) = 300 + 90q 欧元。 求最大周利润 P。
p = 120 − 0.5qC = 300 + 90q
P = €
7.积分中等
计算 I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx。
f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 1]
I =
8.积分困难
求抛物线 y = 1 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。
y = 1 − x²
A =
3溶液
1.极限
答案: L = 1
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
除以最高次幂
(4 + 1/x + (−3)/x2)/(4 + 4/x + 5/x2)
令 x → ∞
L = 4/4 = 1
答案
L = 1
次数相同时，极限为首项系数之比。
2.极限
答案: L = 1.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
洛必达法则
L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[2·cos 2x]
代入 x = 0
L = 3/2 = 1.5
答案
L = 1.5
3.导数
答案: f′(1) = 8.155
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则
f′(x) = u′v + uv′ = ex·(2x + 1·x2)
代入
f′(1) = 2.718·(2 + 1) = 8.155
答案
f′(1) = 8.155
4.导数
答案: x = 2
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
导数
f′(x) = 3x2 − 24x + 36 = 3·(x2 − 8x + 12)
解 f′(x) = 0
x = 2 或 x = 6
判断哪个是哪个
f″(x) = 6x − 24：在极大值处为负，在极小值处为正。
f″(2) = −12, f″(6) = 12
x = 2
答案
x = 2
5.最优化
答案: C = 854.2 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
造价关于 x 的函数
C(x) = 38x + 4800/x
令导数为零
C″(x) = 9600/x³ > 0，所以这是最小值。
x = √(4800/38) = 11.24 m
y = 300/11.24 = 26.69 m
最低造价
C = 38·11.24 + 4800/11.24 = €854.2
答案
C = €854.2
6.最优化
答案: P = 150 €
最优化：把要优化的量写成单变量函数，利用约束条件消去另一个变量。令导数为零并求解。检验该临界点是最大值还是最小值（二阶导数或一阶导数的变号），并确认它位于允许范围内；像边长为零这样的端点不是答案。
利润函数
P(q) = (120 − 0.5q)·q − (300 + 90q) = −0.5q2 + 30q − 300
令导数为零
P″(q) = −1 < 0，所以这是最大值。
q = 30/1 = 30
价格和利润
p = 120 − 0.5·30 = €105
P = 30·30 − 0.5·30² − 300 = €150
答案
P = €150
7.积分
答案: I = 2.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
换元
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u2 du
积分并代入上下限
I = [u3/3]12 = (8 − 1)/3 = 2.333
答案
I = 2.333
8.积分
答案: A = 1.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
零点
1 − x² = 0 → x = ±1
积分
A = [1x − x³/3]−11 = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333
答案
A = 1.333
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